猜题10 第19题 立体几何（题型拓展）-备战2023年高考数学题型猜想预测卷（浙江新高考专用）

猜题10 第19题 立体几何（题型拓展） 一、解答题 1．如图，在斜三棱柱中，，，侧面为菱形，且，点D为棱的中点，，平面平面．设平面与平面ABC的交线为l． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 2．如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，分别是的中点，平面，，且． (1)证明：平面． (2)求四棱锥的体积． 3．如图所示，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，．平面平面，为的中点，，，E，F，G分别为，，的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成锐二面角的正切值． 4．如图，在四棱锥中，为棱上一点，，四边形为矩形，且平面. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小. 5．如图，已知矩形是圆柱的轴截面，是的中点，直线与下底面所成角的正切值为，矩形的面积为12，为圆柱的一条母线（不与重合）． (1)证明：； (2)当三棱锥的体积最大时，求M到平面的距离． 6．如图，球O是正三棱锥和的外接球，M为的外心，直线AM与线段BC交于点D，D为BC的中点，两三棱锥的高之比为，E为PA上一点，且． (1)证明：； (2)求二面角的正弦值． 7．棱柱的所有棱长都等于2，，平面平面，． （1）证明：； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置． 8．如图，四面体中，，，与面的所成角为． (1)若四面体的体积为，求的长； (2)设点在面中，，，过作的平行线，分别交于点，求面与面所成夹角的余弦值． 9．如图，多面体，底面是边长为2的等边三角形，侧面为正方形且垂直于底面，，，为的中点，为棱上靠近点的三等分点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的大小. 10．如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，为等边三角形，分别为棱的中点，为棱上的动点（包括端点）. (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 11．如图，在四棱锥中，平而平面，，，． (1)求证：∥平面； (2)求点到平面的距离： (3)求平面与平面的夹角． 12．如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点. (1)求证：平面； (2)若侧面底面，且，； ①求与平面所成的角； ②在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 13．在①；②，且直线与平面ABCD所成角为.这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并给予解答. 如图所示，四棱台ABCD的上下底面均为正方形，且⊥底面ABCD. (1)证明：； (2)若 ，求二面角的正弦值. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分. 14．如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E. (1)求证：； (2)若，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB与平面所成角的正弦值.条件①：平面平面；条件②：；条件③：. 15．如图，已知四棱锥，底面是平行四边形，且，是线段的中点，. (1)求证：平面； (2)下列条件任选其一，求二面角的余弦值. ①与平面所成的角为； ②到平面的距离为. 注：如果选择多个条件分别解答，按一个解答计分. 16．如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，底面，且是棱上一点. (1)若平面，证明：是的中点. (2)线段上是否存在点，使二面角的余弦值是?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 17．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝，BC＝，PA＝2. (1)取PC的中点N，求证：DN∥平面PAB； (2)求直线AC与PD所成角的余弦值； (3)在线段PD上，是否存在一点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°？如果存在，求出BM与平面MAC所成角的大小；如果不存在，请说明理由． 18．如图1，一副标准的三角板中，，，，，将两三角板的边与重合，拼成一个空间图形，且三角板可绕边旋转.设M是的中点，N是的中点. (1)如图2，若，求证：平面平面； (2)如图3，若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 19．如图，在四棱台中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点分别为的中点，均为锐角. (1)求证：； (2)若异面直线与所成角正弦值为，四棱锥的体积为1，求二面角的平面角的余弦值. 20．如图，在四棱锥中，为边的中点，异面直线与所成的角为. (1)在直线上找一点，使得直线平面，并求的值； (2)若直线到平面的距离为，求平面与平面夹角的正弦值. 21．如图，C是以为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面为正三角形，E，F分别是上的动点. (1)求证：； (2)若E，F分别是的中点且异面直线与所成角的正切值为，记平面与平面的交线为直线l，点Q为直线l上