专题06 解三角形-2023年新高考数学经典模拟考前定心练（新高考地区专用）

专题06 解三角形 一、单选题 1．（2023·江苏·统考一模）在中，，的角平分线交于点D，的面积是面积的3倍，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 因为， 即，在中，作边上高，垂足为， 则， 故选:A. 二、填空题 2．（2023·山东青岛·统考一模）湿地公园是国家湿地保护体系的重要组成部分，某市计划在如图所示的四边形区域建一处湿地公园．已知，，，，千米，则______千米． 【答案】 【解析】在三角形中由正弦定理得， 所以， 即， 所以， 所以， 又，，所以为等腰直角三角形，所以， 在中由余弦定理得 ， 所以. 故答案为：. 三、解答题 3．（2023·山东济南·一模）已知函数． (1)求的单调递减区间； (2)中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，求A的内角平分线的长． 【解析】（1）因为 所以，, 解得，, 所以的单调递减区间为． （2）因为，所以． 因为，所以，所以， 所以， 故， 由题意知，， 所以， 即， 所以． 4．（2023·山东聊城·统考一模）在四边形中，． (1)证明：； (2)若，，，，求外接圆的面积． 【解析】（1）因为，所以,在中，由正弦定理可知，在中，由正弦定理可知，，所以，，故有. （2）由(1)可知，，设，又因为，可得，即，解得，所以，在中，由正弦定理可知，，所以，所以的外接圆的面积为. 5．（2023·山东·河北衡水中学统考一模）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求证：； (2)若的角平分线交BC于，且，求面积的取值范围． 【解析】（1）因为，由正弦定理得 又，所以 因为为锐角三角形，所以，， 又在上单调递增，所以，即； （2）由（1）可知，，所以在中，， 由正弦定理得：，所以， 所以． 又因为为锐角三角形，所以，，，解得， 所以，即面积的取值范围为． 6．（2023·山东枣庄·统考二模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且． (1)求A； (2)若，△ABC的面积为，求a． 【解析】（1）由得， 又，所以． 由正弦定理得， 又，所以， 即．又A为△ABC的内角，所以． （2）由得，， 解得． 又根据余弦定理得， 所以． 7．（2023·山东菏泽·统考一模）如图,在平面四边形中,,. (1)试用表示的长; (2)求的最大值. 【解析】（1）（）,,, ，则 在中, , ,则. （2）在中, , 则当时,取到最大值. 故的最大值是 8．（2023·山东淄博·统考一模）在中，角，，的对边分别是，，，满足 (1)求角； (2)若角的平分线交于点，且，求的最小值. 【解析】（1）由可得：， 由余弦定理知，， 又因此. （2）在中，由，得， 在中，由，可得， 所以； 在中，由，得， 解得，， 所以， 因为，， 所以， 当且仅当时取等号， 因此的最小值为. 9．（2023·山东泰安·统考一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若，，，求b，c. 【解析】（1）在中，依题意， 则，即， 由正弦定理得：，由余弦定理得，而， 所以. （2）依题意，，则， 又，，则有，即，又，解得， 所以，. 10．（2023·山东济宁·统考一模）在中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，，求边上的高. 【解析】（1），故， 整理得，故，又，故． （2），即，解得或（舍去）， 由，解得. 11．（2023·山东威海·统考一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求B； (2)若，，求的面积. 【解析】（1）由，得，即， 所以， 由正弦定理得， 因为，所以. 因为，所以. （2）在中，因为，，，由余弦定理，得， 即，解得或（舍去）. 所以， 即的面积为. 12．（2023·山东日照·统考一模）已知中，a，b，c是角A，B，C所对的边，，且. (1)求角B； (2)若，在的边AB，AC上分别取D，E两点，使沿线段DE折叠到平面BCE后，顶点A正好落在边BC（设为点P）上，求AD的最小值. 【解析】（1）因为，所以由正弦定理边角互化得， 因为，所以，即，所以， 因为，所以，所以， 所以，即. （2）因为，所以为等边三角形，即， 设，则， 所以在中，由余弦定理得，整理得， 设，所以， 由于，故， 所以，当且仅当时等号成立，此时， 所以AD的最小值为． 13．（2023·山东临沂·统考一模）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积的取值范围． 【解析】（1）在中，由已知及正弦定理得：， 即有，即，而，，则， 所以． （2）在中，由余弦定理得：， 因此，即，当且仅当时取等号， 又， 所以面积的取值范围是． 14．（2023·山东潍坊·统考一模）在①