专题05 几何竞赛综合-【初中数学竞赛】50题真题专项训练（全国竞赛专用）

【初中数学竞赛】 专题05 几何竞赛综合-35题真题专项训练 （全国竞赛专用） 一、单选题 1．（2015·全国·九年级竞赛）矩形中，，，、分别为矩形外的两点，，，则（    ） A． B．15 C． D． 2．（2013·全国·九年级竞赛）已知是圆的直径，为圆上一点，，的平分线交圆于点，若，则（    ） A．2 B． C． D．3 3．（2013·全国·九年级竞赛）矩形的边长，，为的中点，在线段上，且，分别与，交于点，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2018·全国·九年级竞赛）已知点，分别在正方形的边，上，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2018·全国·九年级竞赛）如图，在矩形中，的平分线交于点，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2017·全国·九年级竞赛）设是以为直径的圆上的一点，于点，点在线段上，点在延长线上，满足．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2021·全国·九年级竞赛）如图，已知的边长分别为，正六边形网格由24个边长为2的正三角形组成，以这些正三角形的顶点画，使得，相似比为，那么k的不同值共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 8．（2016·全国·九年级竞赛）已知的最大边上的高线和中线恰好把三等分，，则__________． 9．（2016·全国·九年级竞赛）在四边形中，，平分，为对角线的交点，，，则__________． 10．（2021·全国·九年级竞赛）如图所示，正方形的边长为，点E在边的延长线上且，点P在边上运动，与的交点为F．设，与四边形的面积和为，那么y与x之间的函数关系式是________． 11．（2014·全国·九年级竞赛）已知为等腰内一点，，，为的中点，与交于点，如果点为的内心（三角形的三条内角平分线的交点），则_____． 12．（2015·全国·九年级竞赛）、两点在以为直径的半圆周上，平分，，，则的长为__________． 13．（2015·全国·九年级竞赛）已知锐角的外心为，交于，、分别为、的外心，若，，则__________. 14．（2018·全国·九年级竞赛）如图，在平行四边形中，，于，为的中点，若，则______． 15．（2017·全国·九年级竞赛）设是锐角三角形的外心，，分别为线段，的中点，，，则__________． 16．（2021·全国·九年级竞赛）某广场地面铺满了边长为的正六边形地砖，现向上抛掷半径为的圆碟，圆碟落地后与地面不相交的概率大约是_________． 17．（2018·全国·九年级竞赛）已知是内一点，是的中点，，，，，则__________． 三、解答题 18．（2013·全国·九年级竞赛）已知点在以为直径的圆上，过点、作圆的切线，交于点，连，若，求的值． 19．（2021·全国·九年级竞赛）设是凸五边形，将沿方向平移，使移到得到凸五边形．证明：中至少有两个图形，它们有公共内点． 20．（2017·全国·九年级竞赛）如图，为四边形内一点，，，，求证． 21．（2017·全国·九年级竞赛）如图：中，，，是的外角平分线与的外接圆的交点．点在上且，已知，，求的面积． 22．（2021·全国·九年级竞赛）已知二次函数的图象与轴的交点分别为、，与轴的交点为．设的外接圆的圆心为点． （1）证明：与轴的另一个交点为定点． （2）如果恰好为的直径且，求和的值． 23．（2021·全国·九年级竞赛）如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为的正方形，高为，内有深的溶液，现将此容器倾斜一定角度（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①，②均为容器的纵截面）． （1）当时，通过计算说明此溶液是否会溢出； （2）现需要倒出不少于的溶液，当等于时，能实现要求吗？通过计算说明理由． 24．（2013·全国·九年级竞赛）在中，，、分别是的外心和内心，且满足．求证： （1）； （2）． 25．（2015·全国·九年级竞赛）如图，圆内接四边形的对角线、交于点，且，．过点作，交的延长线于点，的平分线分别交、于点、． （1）证明：； （2）如果，证明：． 26．（2021·全国·九年级竞赛）证明：一个边长为5的正方形可以被3个边长为4的正方形所覆盖． 27．（2015·全国·九年级竞赛）如图，圆内接四边形的对角线、交于点，且，.过点作，交的延长线于点，的平分线分别交、于点、． （1）证明：； （2）如果，证明：． 28．（2021·全国·九年级竞赛）把长为的线段任意分成3条线段，求这3条线段能够构成一个三角形的3条边的概率． 29．（2021·全国·九年级竞赛）甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲的停泊时间是