专题04 函数与不等式竞赛综合-【初中数学竞赛】50题真题专项训练（全国竞赛专用）

【初中数学竞赛】 专题04 函数与不等式竞赛综合-30题真题专项训练 （全国竞赛专用） 一、单选题 1．（2021·全国·九年级竞赛）若函数的图象与y轴交点的纵坐标为，则k的值是（    ） A． B． C．或2 D．或 【答案】B 【详解】解  因时，代入函数关系得，即，所以或．故应选D． 注：本题中的函数可以是一次函数，也可以是二次函数．不能一开始就默认它是二次函数，约定，从而错误地选择了B． 2．（2021·全国·九年级竞赛）设，，是三边的长，二次函数在取最小值，则是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【详解】解  依题意可得是直角三角形．故应选D． 注：从前面的例题可以看出，解有关二次函数的最值问题，不仅要熟悉有关二次函数的性质，还要灵活运用相关的不等式知识、几何知识等，才能使问题得到顺利解决． 3．（2021·全国·九年级竞赛）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点P在上，轴于点C，交于点轴于点D，交于点B，则四边形的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 设，则，所以． 故选：B． 4．（2021·全国·九年级竞赛）若，化简结果为（    ）． A． B． C． D．0 【答案】C 【详解】依题意，所以． 故选：C． 5．（2021·全国·九年级竞赛）有两个四位数，它们的差是534，它们平方数的末四位数相同．则较大的四位数有（    ）种可能． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】理由：设较大的四位数为x，较小的四位数为y，则 ，                                                           ① 且能被10000整除． 而，则能被5000整除． 令．                                             ② 由式①②解得 考虑到x，y均为四位数，于是， 解得． k可取1，2或3． 从而，x可取的值有3个：2767，5267，7767． 6．（2021·全国·九年级竞赛）设为正整数，，，已知，则的值为（    ）． A．1806 B．2005 C．3612 D．4100 【答案】A 【详解】， ， ， 同理． 故选：A． 7．（2021·全国·九年级竞赛）设的三个顶点，，均在抛物线上，并且斜边平行于x轴，若斜边上的高为h，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解  设A的坐标为，点C的坐标为，则B点的坐标为．由勾股定理可得， ， 则， 于是， 即． 由于，所以，即斜边上的高（A的纵坐标）（C的纵坐标）． 注：（1）如图仅画出了的情形，在其他情形下，计算是完全相同的． （2）设，利用勾股定理可得计算A与B的距离的公式为． 8．（2021·全国·九年级竞赛）若正数a，b，c满足不等式则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【详解】解  由已知条件及加法的单调性得 ，即 由①，②得 （传递性），所以． 由①，③得 （传递性），所以． 可见，a，b，c的大小关系是，故选B． 9．（2021·全国·九年级竞赛）设，则下列各式一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因，故 ， ． 所以． 故选：D． 10．（2021·全国·九年级竞赛）设，且，则满足此等式的不同整数对有（    ）对． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】选C．理由：由，得． 又，故可将改写成 ， 即． 因此，满足条件的整数对为．共有3对． 二、填空题 11．（2021·全国·九年级竞赛）已知，且满足 （表示不超过x的最大整数），则的值等于_______． 【答案】6 【详解】因，所以每一个等于0 或1．由题设知其中恰有18个等于1， 所以 于是，解得所以．故应填6． 12．（2021·全国·九年级竞赛）设正的边长为2，M是边上的中点，P是边上任意一点，的最大值和最小值分别记为s和t，则_______． 【答案】． 【详解】因为，，故当P处于边顶点C这一极端位置时，取最大值，最大值为． 如图4-1，作正，设为的中点，则由得，于是． 连，则，所以，故，并且当A、P、共线时等号成立，即的最小值为，因此，．故应填． 13．（2021·全国·九年级竞赛）已知，是正数，并且二次函数和的图象都与x轴相交，则的最小值是________． 【答案】20 【详解】解  因两条抛物线都与x轴相交，故其判别式及都不小于零，即． 因都是正数，所以 ，及， 所以，即的最小值为20．故应填20． 注：本题中求最值的方法叫做放缩法，即根据题目条件，将各变量的值适当放缩为一个常