专题03 方程与恒等变换竞赛综合-【初中数学竞赛】50题真题专项训练（全国竞赛专用）

【初中数学竞赛】 专题03 方程与恒等变换竞赛综合-50题真题专项训练 （全国竞赛专用） 一、单选题 1．（2021·全国·九年级竞赛）把三个连续的正整数a，b，c按任意次序（次序不同视为不同组）填入的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．使所得方程至少有一个整数根的a，b，c（    ）． A．不存在 B．有一组 C．有两组 D．多于两组 2．（2021·全国·九年级竞赛）在方程组中，x，y，z是互不相等的整数，那么此方程组的解的组数为（ ） A．6 B．3 C．多于6 D．少于3 二、填空题 3．（2021·全国·九年级竞赛）已知，则________． 4．（2021·全国·九年级竞赛）若，且方程的两根均为奇数，则此方程的根为_________． 5．（2021·全国·九年级竞赛）以下算式中，相同的汉字代表相同的数字．已知“神舟”，“号”，那么六位数“飞天神舟六号”=_______． 6．（2021·全国·九年级竞赛）已知一个矩形的长、宽分别为正整数a，b，其面积的数值等于它的周长的数值的2倍，则______或________． 7．（2021·全国·九年级竞赛）一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的木球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字的和等于21，则小明摸出的球中红球的个数最多不超过___________． 8．（2021·全国·九年级竞赛）篮、排、足球放在一堆共25个，其中篮球个数是足球个数的7倍，那么其中排球的个数是__________． 9．（2021·全国·九年级竞赛）某一次考试共需做20个小题，做对一个得8分，做错一个扣5分，不做的得0分．某学生共得13分，那么这个学生没做的题有_______个． 10．（2021·全国·九年级竞赛）两个正整数的和比积小1997，并且其中一个是完全平方数，则较大数与较小数的差是___________． 11．（2021·全国·九年级竞赛）某自然数恰好等于它的各位数字和的11倍，则这个自然数是__________． 12．（2021·全国·九年级竞赛）边长为整数，周长为12的三角形的面积的最大值是_________． 13．（2021·全国·九年级竞赛）一个两位数除以它的反序数所得的商数恰等于余数，则这个两位数是__________． 14．（2021·全国·九年级竞赛）某个两位自然数，它能被其各位数字之和整除，且除得的商恰好是7的倍数，写出符合条件的所有两位数是_________． 15．（2021·全国·九年级竞赛）小孩将玻璃弹子装进两种盒子，每个大盒子装12颗，每个小盒子装5颗，若弹子共有99颗，所用大、小盒子多于10个，则大盒子数为________，盒子数为__________． 16．（2021·全国·九年级竞赛）设平方数是11个相继整数的平方和，则y的最小值是__________． 17．（2021·全国·九年级竞赛）一个三位数，它等于它的各位数码之和的12倍．试写出所有这样的三位数_________． 18．（2021·全国·九年级竞赛）一个四位数与它的四个数字之和等于1991，这个四位数是___________． 19．（2021·全国·九年级竞赛）n是一个非立方的四位数，且它仅有4个正约数，除了它本身之外其他三个约数的和等于1000，那么这个四位数n是___________． 20．（2021·全国·九年级竞赛）方程在正整数范围内的解是_________． 21．（2021·全国·九年级竞赛）方程有_________组正整数解． 22．（2021·全国·九年级竞赛）已知三角形的三个角的度数都是小于120的质数，则这个三角形三个角的度数分别是__________． 23．（2021·全国·九年级竞赛）若质数m，n满足，则的值为_________． 三、解答题 24．（2021·全国·九年级竞赛）（1）设x是实数，证明： ， （2）求之值 25．（2021·全国·九年级竞赛）3设a，b，c是正数，且，证明： ． 26．（2021·全国·九年级竞赛）若，证明： ．等号成立当且仅当． 27．（2021·全国·九年级竞赛）若，则，等号成立当． 28．（2021·全国·九年级竞赛）已知为实数且，证明： ． 29．（2021·全国·九年级竞赛）设且，证明： ． 30．（2021·全国·九年级竞赛）是否存在质数p，q，使得关于x的一元二次方程有有理数根？ 31．（2021·全国·九年级竞赛）已知b，c为整数，方程的两根都大于且小于0．求b和c的值． 32．（2021·全国·九年级竞赛）试求两个不同的自然数，它们的算术平均数A和几何平均数G都是两位数，其中A，G中一个可由另一个交