6.3.1.1 二项式定理课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

数学 第六章　计数原理 §6.3.1.1二项式定理 解：根据分步乘法计数原理，乘积展开后共有3×3×5＝45项. 问题1：乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3)(c1+c2+c3+c4+c5) 展开后共有多少项? 问题2：(a+b)2 展开后共有多少项? 解：共有2×2＝4项. 问题3：(a+b)3 展开后共有多少项? 解：共有2×2×2＝8项. 问题4：(a+b)4 展开后共有多少项? 解：共有24=16项. 今天我们要来探究(a+b)n展开式的问题—— 二项式定理 合并同类项 有3项. 合并同类项 有4项. 问题5：(a+b)n 展开后共有多少项? 解：共有2×2×┈ × 2 ＝2n项. 合并同类项 有5项. 合并同类项 有n+1项. 问题情境 对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3，(a＋b)4，等代数式，数学上统称为二项式， 其一般形式为： (a＋b)n（n∈N*） 二项式 二项式定理研究的是(a＋b)n展开后的表达式的一般结构。 那么(a＋b)n 的展开式是什么呢？ 什么是二项式，二项式定理研究的是什么？ 1664年,年仅22岁的牛顿，在研读数学家沃利斯的《无穷算术》时，发现了展开式的规律(即二项式定理)，又称牛顿二项式定理. 什么神奇的方法探索到这个奥秘呢？ 问题情境 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律? 特殊到一般的数学探究思想 问题探究 4 展开式的每一项都是从各个因式中各取一个字母相乘得到 有多少项相同的项数？如何统计？ 问题探究 5 (a+b)3 = (a+b) (a+b) (a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3 a3 a2b ab2 b3 项 项数 从3个括号中全部选a不选b 从3个括号中各选2个a选1个b 从3个括号中各选1个a选2个b 从3个括号中不选a全部选b （从选b的角度看） 组合知识 问题探究 6 a4 a3b ab3 b4 项 从4个括号中全部选a不选b 从4个括号中各选3个a选1个b 从4个括号中各选2个a选2个b 从4个括号中不选a全部选b 项数 （从选b的角度看） (a＋b)4＝________________________________________ 探究 根据你发现的规律，你能写出(a＋b)4的展开式吗? a2b2 从4个括号中各选1个a选3个b 问题探究 7 an an-1b abn-1 bn 项 系数 从n个括号中全部选a不选b 从n个括号中各选n-1个a选1个b 从n个括号中各选n-k个a选k个b 从n个括号中不选a全部选b （从选b的角度看） 从n个括号中各选1个a选n-1个b 探究 根据你发现的规律，你能写出(a＋b)n的展开式吗? (a＋b)n＝_____________________________________________ an-kbk 问题探究 8 二项式定理 (a+b)n= Cn0an +Cn1an-1b+Cn2an-2b2 +…+Cnkan-kbk….+Cnnbn （n∈N*） 二项式展开式 通项公式: 说明：它可表示二项展开式中的任意项，只要n与k确定，该项也随即确定； 展开式的特征： (1) 展开式共有（ ）项 (2)各项指数按a的（ ）排列，按b的（ ）排列. (3) an－kbk是第（ ）项。 二项式系数： n+1 降幂 k+1 升幂 表示第k+1项 概念生成 二项式定理的基本应用 例1 求 的展开式 . 解：根据二项式定理，可得 典例分析 课本P31 解： = 课本P34 解： 习题6.3/3(2) 写出展开式. =+ = 课本P34 解： 习题6.3/4(1) 化简. =++++ =+ =2+20x+10x2 解： 含x4的项是由5个括号中任意4个括号各取出1个x，剩余1个括号取出常数相乘得到的，故含x4的项的系数是 课本P31 方法归纳：善用组合的方法来求某一项或某一项的系数等问题。 1. 二项式定理： 2. 通项公式： 3. 二项式系数： 课堂小结 二项式展开式的结构特征 1.01365=37.8 0.99365=0.03 积跬步以至千里，积怠惰以至深渊 如果按2021年山东省的国内生产总值为8.3万亿，年增长率为8.3% 那么10年后，山东省的国内生产总值将达到多少万亿？ 8.3(1+8.3%)10=？ 二项式 Lavf59.6.100 $