第3章 空间向量及其应用【过知识】- 2022-2023学年高二数学单元复习过过过（沪教版2020选择性必修第一册）

高一数学选择性必修1 单元复习 第3章 空间向量及其应用 1 1 知识网络 2 知识梳理 1.空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加法的三角形法则和平行四边形法则，减法的几何意义，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等等；向量的基底表示和坐标表示是向量运算的基础. 2 知识梳理 2.空间向量平行的充要条件 3.空间向量共面的充要条件 2 知识梳理 4.空间向量基本定理 5.坐标系： 叫做原点，通过 的平面叫做坐标平面，分别称为 平面、 平面、 平面，它们把空间分成八个部分. O 每两条坐标轴 xOy yOz zOx 2 知识梳理 向量运算 向量表示 坐标表示 模 加法 ＋ ______________________ 减法 － ________________________ 数乘 λ ______________ 数量积 · ________________ 设向量＝(x1，y1，z1)，＝(x2，y2，z2)，λ∈R，那么 (x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) (λx1，λy1，λz1) x1x2＋y1y2＋z1z2 (x1-x2，y1-y2，z1-z2) 2 知识梳理 设非零向量＝(x1，y1，z1)，＝(x2，y2，z2)夹角的余弦 公式 垂直：⊥⇔·＝0⇔ ∥⇔＝λ⇔ ， ，________ (λ∈R)； x1＝λx2 y1＝λy2 z1＝λz2 考点突破 3 考点1、空间向量的概念与运算 1 考点突破 3 考点1、空间向量的概念与运算 (2)(多选)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的 正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.下列选项中，正确的是 √ √ 考点突破 3 考点1、空间向量的概念与运算 √ 考点突破 3 2.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC1的中点为O， 则下列互为相反向量的是 √ √ √ 考点1、空间向量的概念与运算 考点突破 3 考点1、空间向量的概念与运算 解析　如图， 根据图形可看出，选项A，D的两向量互为相反向量； ∴选项B的两向量不是相反向量； ∴选项C的两向量互为相反向量. 考点突破 3 考点1、空间向量的概念与运算 3.已知向量a＝(2,1,2)，b＝(－2，x,2)，c＝(4，－2,1)， 若b⊥(a＋c)，则x的值为 A.－2 B.2 C.－6 D.6 √ 解析　因为a＝(2,1,2)，b＝(－2，x,2)，c＝(4，－2,1)， 所以a＋c＝(6，－1,3)， 又b⊥(a＋c)， 所以－12－x＋6＝0，解得x＝－6. 考点突破 3 考点1、空间向量的概念与运算 4.在空间直角坐标系中，已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)， 点P在z轴上， A.(3,0,0) B.(0,3,0) C.(0,0,3) D.(0,0，－3) √ 考点突破 3 5.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°. 考点1、空间向量的概念与运算 ＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a) 考点突破 3 考点1、空间向量的概念与运算 ＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1， 考点突破 3 考点2、利用空间向量证明位置关系 证明　以A为原点，以AB，AD，AP所在直线 分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则B(1，0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2，2,0)，M(1,1，1)， 又BM⊄平面PAD，∴BM∥平面PAD. 例2　在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD， PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点. (1)求证：BM∥平面PAD； 考点突破 3 考点2、利用空间向量证明位置关系 假设平面PAD内存在一点N，使MN⊥平面PBD. 从而MN⊥BD，MN⊥PB， 使MN⊥平面PBD. (2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在， 确定N的位置；若不存在，说明理由. 考点突破 3 考点2、利用空间向量证明位置关系 对应练习在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4， AB＝5，AA1＝4. (1)求证：AC⊥BC1； 证明　在直三棱柱ABC－A1B1C1 中，因为AC＝3，BC＝4，AB＝5，所以AC，BC