2023年中考数学备考【一题多解】共顶点双等腰之中点模型（8种解法）

共顶点双等腰之中点模型 一题多解（东方岳2023.04.03） 【题目】如图，正方形ABCD中，△DEF为等腰直角三角形，若G，H为中点，求证：△ABG≌△BCH. 【分析】本题涉及正方形和等腰直角三角形，实质是共顶点双等腰模型.另外此题出现中点，一般通过倍长中线，构造中位线求证，因此本题解法很多，难点是在证明全等时要进行导角，题很经典，值得学习. 【证法】 简证1：如图，取AB，BC的中点M，N，则，MG=AE=CF=NH 又，∠BMG=∠BAE=90°-∠EAD=90°-∠FCD=∠CNH ∴△BMG≌△CNH ∴BG=CH ∴△ABG≌△BCH 简证2：如图，延长BC至M，使CM=BC，则，△ADE≌△CDF ∴△BAE≌△MCF ∴∠ABG=∠M=∠BCH， BG=BE=FM=CH ∴△ABG≌△BCH 简证3：如图，延长BA至M，使AM=AB，则，∠MAE=90°+∠EAD=90°+∠FCD=∠BCF ∴△AME≌△CBF ∴∠BAG=∠M=∠CBH， AG=ME=BF=BH ∴△ABG≌△BCH 简证4：如图，延长AG至M，使MG=AG，则，BM=AE=CF 又，∠ABM=180°-∠BAE=90°+∠EAD=90°+∠FCD=∠BCF ∴△ABM≌△BCF（SAS） ∴∠BAG=∠CBH AG=AM=BF=BH ∴△ABG≌△BCH 简证5：如图，延长CH至M，使MH=CH，则，MF=BC=BA 又，∠MFC=180°-∠BCF=90°-∠DCF=90°-∠DAE=∠BAE ∴△BAE≌△MFC（SAS） ∴∠ABG=∠M=∠BCH 又，BG=BE=CM=CH ∴△ABG≌△BCH 简证6：如图，延长EA至M，使AM=AE，则，AM=CF 又，∠BAM=180°-∠BAE=90°+∠EAD=90°+∠FCD=∠BCF ∴△MAB≌△FCB（SAS） ∴AG=BM=BF=BH，∠BAG=∠ABM=∠CBH ∴△ABG≌△BCH 简证7：如图，延长CF至M，使CM=CF，则，CM=AE 又，∠BCM=90°-∠DCF=90°-∠DAE=∠BAE ∴△BAE≌△BCM（SAS） ∴BG=BE=BM=CH，∠ABG=∠CBM=∠BCH ∴△ABG≌△BCH 简证8：如图，取BD的中点O，则，△AGO≌△BHO ∴AG=BH 又，∠BAG=45°-∠GAO=45°-∠HBO=∠CBH ∴△ABG≌△BCH 学科网（北京）股份有限公司 $