专题15 反比例函数与几何图形综合题专训-2022-2023学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题15 反比例函数与几何图形综合题专训 【反比例函数与几何图形综合题】 1．（2023春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）如图，点，分别在轴正半轴、轴正半轴上，以为边构造正方形，点，恰好都落在反比例函数的图象上，点在延长线上，，，交轴于点，边交反比例函数的图象于点，记的面积为，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过点作轴，过点作轴，设，，证明，并得到，，根据反比例函数的性质得，即，继而得到是等腰直角三角形，已知的面积为，可得，又因为在反比例函数的图象上，可得，即可求出，，再求出直线的表达式，利用方程组确定点的坐标，求出和，即可得出的面积． 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴，设，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， 又∵，在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵在反比例函数的图象上，即， ∴，， ∴，，反比例函数的表达式为， 设：直线的表达式为， ∴，解得：， ∴直线的表达式为， ∵，解得：或， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上的点的特征，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，求一次函数的解析式等，利用设出的，表示出相关点的坐标是解答本题的关键． 2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，矩形的边，，动点在边上（不与、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，直线分别与轴和轴相交于点和．给出以下命题：①若，则的面积为；②若，则点关于直线的对称点在轴上；③满足题设的的取值范围是；④若，则；其中正确的命题个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①若，则计算，故命题①正确； ②如答图所示，若，可证明直线是线段的垂直平分线，故命题②正确； ③因为点不经过点，所以，即可得出的范围； ④求出直线的解析式，得到点、的坐标，然后求出线段、的长度；利用算式，求出，故命题④错误． 【详解】解：命题①正确．理由如下： ， ，， ，， ，故①正确； 命题②正确．理由如下： ， ，， ，． 如答图，过点作轴于点，则，； 在线段上取一点，使得，连接． 在中，由勾股定理得：， ． 在中，由勾股定理得：． ， 又， 直线为线段的垂直平分线，即点与点关于直线对称，故②正确； 命题③错误．理由如下： 由题意，点与点不重合，所以， ，故③错误； 命题④错误．理由如下： 设，则，． 设直线的解析式为，则有，解得， ． 令，得， ； 令，得， ． 如答图，过点作轴于点，则，． 在中，，，由勾股定理得：； 在中，，，由勾股定理得：． ，解得， ，故命题④错误． 综上所述，正确的命题是：①②，共2个， 故选：B． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征等，综合性比较强，难度较大． 3．（2021春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，已知，为反比例函数图像上的两点，动点在x轴正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大时，点P的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当三点一线时，线段与线段之差达到最大，确定直线的解析式，与x轴的交点就是所求． 【详解】∵，为反比例函数图像上的两点， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 当三点一线时，线段与线段之差达到最大， ∴， 解得， ∴点P的坐标是． 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的解析式，最值，熟练掌握待定系数法，清楚线段差最大值的意义是解题的关键． 4．（2023春·江苏南通·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于A、两点，以为边在第一象限作正方形，点在双曲线上．将正方形沿轴负方向平移个单位长度后，点恰好落在该双曲线上，则的值（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作轴于点，交双曲线于点作轴于点，易证≌≌，求得A、的坐标，根据全等三角形的性质可以求得、的坐标，从而利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得平移后的点的坐标，则的值即可求解． 【详解】解：作轴于点，交双曲线于点，作轴于点． 在中，令，解得：， 的坐标是． 令，解得：， 的坐标是． ，． ， ， 又直角中，， ， 在和中， ， ≌， 同理，≌≌， ，， 的坐标是，的坐标是． 点在双曲线上， ， 函数的解析式是：． 把代入得：． ． 故选：． 【点睛】本题考查正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，正确求得、的坐标是关键． 5．（2022秋·四川达州·九年级统考期末）如图