专题14 反比例函数的图象与性质重难点题型专训-2022-2023学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题14 反比例函数的图象与性质重难点题型专训 【题型目录】 题型一 反比例函数的相关概念 题型二 反比例函数的图象 题型三 反比例函数的性质 题型四 反比例函数图象的对称性 题型五 求反比例函数的解析式 题型六 反比例函数中k的几何意义 题型七 已知比例系数求图形面积 题型八 反比例函数与一次函数交点问题 【经典例题一 反比例函数的相关概念】 【解题技巧】 知识点、反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 特别说明： （1） 在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变 量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点. （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解 决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 【例1】（2022春·九年级单元测试）函数的图像可以由的图像先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到.根据所获信息判断，下列直线中与函数的图像没有公共点的是（　    ） A．经过点且平行于轴的直线 B．经过点且平行于轴的直线 C．经过点且平行于轴的直线 D．经过点且平行于轴的直线 【答案】D 【分析】分别计算对应的自变量的值或函数值即可判断． 【详解】解：A、当y=2时，，解得x=，故直线y=2与函数的图像有公共点； B、当y=-3时， =-3，解得x=0，故直线y=-3与函数的图像有公共点； C、当x=-1时，，故直线x=-1与函数的图像有公共点； D、分式有意义的条件是x≠1，∴函数的图像与直线x=1没有公共点； 故选：D． 【点睛】此题考查了求函数值或求自变量的值，分式有意义的条件，正确计算是解题的关键． 【变式训练】 【变式1】（2023秋·云南楚雄·九年级统考期末）已知点是反比例函数上一点，则下列各点中在该图像上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把点（3，1）代入双曲线 ( k ≠0)，求出 k 的值，再对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵点（3，1）是双曲线 ( k ≠0）上一点， ∴ k =3×1=3， A 、1×3=-3≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误； B 、1×=≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误； C 、×（-9）=-3≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误； D 、6×=3，此点在反比例函数的图像上，故本选正确， 故选： D． 【点睛】本题考查了反比例函数，解题的关键是熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式． 【变式2】（2023秋·天津南开·九年级统考期末）已知y与成反比例，并且当x＝3时，y＝4．则y与x之间的函数解析式为______． 【答案】 【分析】设，把，代入，求出k的值即可得y与x之间的函数解析式. 【详解】设，把，代入得 得 ∴y与x之间的函数解析式为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了求函数的表达式，解题的关键是把看成自变量，关系式要设正确. 【变式3】（2022秋·河北保定·九年级校考阶段练习）写出下列函数关系式，指出其中的正比例函数和反比例函数，并写出它们的比例系数． (1)火车从石家庄驶往相距约的北京，若火车的平均速度为，求火车距石家庄的距离与行驶的时间之间的函数关系式． (2)某中学现有存煤，如果平均每天烧煤，共烧了y天，求y与x之间的函数关系式． (3)一个游泳池容积为，注满游泳池所用的时间随注水速度x的变化而变化，求y与x之间的函数关系式． 【答案】(1)，是正比例函数，比例系数为 (2)，是反比例函数，比例系数为 (3)，是反比例函数，比例系数为 【分析】(1)根据题意即可写出函数关系式； (2)根据题意即可写出函数关系式； (3)根据题意即可写出函数关系式； 【详解】（1）解：由题意可得：，是正比例函数，比例系数为； （2）解：由题意可得：，是反比例函数，比例系数为； （3）解：由题意可得：，是反比例函数，比例系数为． 【点睛】本题考查了根据题意写函数解析式，理解题意，正确写出函数关系式是解决本题的关键． 【经典例题二 反比例函数的图象】 【解题技巧】 知识点、反比例函数的图象和性质 　　1、反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 特别说明： （1） 若点()在反比例函数的图象上