专题巧突破5 函数与几何的探究题（讲义课件）-【中考2号】2023中考数学（宁夏专用）

专题5　函数与几何的探究题 2023宁夏数学 动点引起的探究问题 类型1 示例1 （2021·宁夏）如图，已知直线y＝kx＋3与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B，sin∠OAB＝. （1）求k的值； （2）D，E两点同时从坐标原点O出发，其中点D以每秒1个单位长度的速度，沿O→A→B的路线运动，点E以每秒2个单位长度的速度，沿O→B→A的路线运动.当D，E两点相遇时，它们都停止运动，设运动时间为t秒. 返回首页 总目录索引 专题5　函数与几何的探究题 首页 总目录 ①在D，E两点运动过程中，是否存在DE∥OB？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； ②若设△OED的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出t为多少时，S的值最大？ 返回首页 总目录索引 专题5　函数与几何的探究题 首页 总目录 [分析] （1）先由直线y＝kx＋3求出它与y轴的交点B的坐标，然后在Rt△AOB中根据sin∠OAB＝和勾股定理求出AB，OA的长，得到点A的坐标，将其代入y＝kx＋3求出k的值； （2）①当点E与点B重合时，OD＝，在OA上取一点F，连接BF，通过计算证明DE∥BF或与BF重合，说明DE不与OB平行； ②按点E在OB上和点E在AB上分类讨论，求出S关于t的函数关系式，再利用一次函数和二次函数的性质求出S的最大值. 返回首页 总目录索引 专题5　函数与几何的探究题 首页 总目录 [解答] 解：（1）直线y＝kx＋3，当x＝0时，y＝3， ∴B（0，3），∴OB＝3. ∵∠AOB＝90°，且sin∠OAB＝， ∴＝. ∵AB＝OB＝×3＝5， ∴OA＝＝4，∴A（4，0）. 把A（4，0）代入y＝kx＋3，得0＝4k＋3， 解得k＝－. 返回首页 总目录索引 专题5　函数与几何的探究题 首页 总目录 （2）①不存在.理由如下： 在OA上取一点F，连接BF. 当0＜t＜时，如图1，OD＝t，OE＝2t. ∵＝＝t，＝＝t， ∴＝. 又∠DOE＝∠FOB，∴△ODE∽△OFB， ∴∠ODE＝∠OFB，∴DE∥BF； 当t＝时，DE与BF重合. 返回首页 总目录索引 专题5　函数与几何的探究题 首页 总目录 ∴当0＜t≤时，不存在DE∥OB； 当＜t＜4时，如图2，AF＝4－＝，AD＝4－t，AE＝8－2t. ∵＝＝，＝， ∴＝. 同理可证DE∥BF， ∴此时不存在DE∥OB. 综上所述，不存在DE∥OB. 返回首页 总目录索引 专题5　函数与几何的探究题 首页 总目录 ②当0＜t≤时，如图1，S△OED＝OD·OE＝t×2t＝t2， ∴S＝t2. ∵a＝1＞0， ∴S随t的增大而增大， ∴当t＝时，S最大＝＝； 当＜t＜4时，如图2，作EG⊥x轴，则EG∥BO， ∴△AGE∽△AOB， ∴＝， 返回首页 总目录索引 专题5　函数与几何的探究题 首页 总目录 ∴GE＝·AE＝（8－2t）， ∴S△OED＝OD·GE＝t×（8－2t）＝－t2＋t， ∴S＝－t2＋t. ∵S＝－t2＋t＝－（t－2）2＋，且－＜0， ＜2＜4， ∴当t＝2时，S最大＝. 返回首页 总目录索引 专题5　函数与几何的探究题 首页 总目录 ∵＞， ∴当t＝2时，S的最大值为. 综上所述，S＝ 当t＝2时，S的最大值为. 返回首页 总目录索引 专题5　函数与几何的探究题 首页 总目录 变式训练 1.（2019·宁夏）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M不与A，B重合），且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x. （1）试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC； （2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由； （3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大？并求出最大值. 返回首页 总目录索引 专题5　函数与几何的探究题 首页 总目录 解：（1）∵MQ⊥BC， ∴∠MQB＝90°， ∴∠MQB＝∠A＝90°. 又∠B＝∠B， ∴△QBM∽△ABC. （2）存在.当BQ＝MN＝时，四边形BMNQ为平行四边形. 理由：∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴BC＝＝5. ∵△QBM∽△ABC， 返回首页 总目录索引 专题5　函数与几何的探究题 首页 总目录 ∴＝＝，即＝＝. ∴QM＝x，BM＝x. ∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC， ∴＝，即＝. ∴MN＝5－x. 由BQ＝MN，得x＝5－x.解得x＝. 返回首页 总目录索引 专题5　函数与几何的探究题 首页 总目录 ∴BQ＝MN＝. 又BQ∥MN， ∴四边形BMNQ为平行四边形. （3）∵MN∥BQ，MQ⊥BQ， ∴MN⊥MQ. ∴S四边形BMNQ＝S△QMN＋S△BMQ ＝QM·（MN＋BQ）