专题巧突破2 圆的证明与计算（讲义课件）-【中考2号】2023中考数学（宁夏专用）

专题2　圆的证明与计算 2023宁夏数学 与圆的性质有关的证明及计算 类型1 示例1 （2017·宁夏）将一副三角板Rt△ABD与Rt△ACB（其中∠ABD＝90°，∠D＝60°，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°）如图摆放，Rt△ABD中∠D所对直角边与Rt△ACB斜边恰好重合.以AB为直径的圆经过点C，且与AD交于点E，分别连接EB，EC. 返回首页 总目录索引 专题2　圆的证明与计算 首页 总目录 （1）求证：EC平分∠AEB； （2）求的值. [分析] （1）由Rt△ACB中∠ABC＝45°，得出∠BAC＝∠ABC＝45°，根据圆周角定理得出∠AEC＝∠ABC，∠BEC＝∠BAC，等量代换得出∠AEC＝∠BEC，即EC平分∠AEB； 返回首页 总目录索引 专题2　圆的证明与计算 首页 总目录 （2）过点C作CM⊥AE于点M，CN⊥BE于点N，由角平分线的性质得出CM＝CN，由直径所对的圆周角是直角得出∠AEB＝90°，在Rt△ABE易得∠ABE＝60°，那么＝＝tan 60°，即可得出结论. [解答] （1）证明：∵在Rt△ACB中， ∠ACB＝90°，∠ABC＝45°， ∴∠BAC＝∠ABC＝45°. ∵∠AEC＝∠ABC，∠BEC＝∠BAC， ∴∠AEC＝∠BEC，即EC平分∠AEB. 返回首页 总目录索引 专题2　圆的证明与计算 首页 总目录 （2）解：过点C作CM⊥AE于点M，CN⊥EB于点N. ∵EC平分∠AEB，∴CM＝CN. ∵AB为圆的直径，∠D＝60° ∴∠AEB＝90°，∠ABE＝60°. ∴＝＝＝tan∠ABE＝tan 60°＝. 返回首页 总目录索引 专题2　圆的证明与计算 首页 总目录 变式训练 1.（2016·宁夏）如图，已知△ABC，以AB为直径的☉O分别交AC于D，BC于E，连接ED.若ED＝EC. （1）求证：AB＝AC； （2）若AB＝4，BC＝2，求CD的长. （1）证明：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠C. ∵四边形ABED是☉O的内接四边形， ∴∠EDC＝∠B. ∴∠B＝∠C.∴AB＝AC. 返回首页 总目录索引 专题2　圆的证明与计算 首页 总目录 （2）解：连接AE. ∵AB为直径，∴∠AEB＝90°.∴AE⊥BC. 由（1）知，AB＝AC. ∴BE＝EC＝BC＝×2＝＝ED. ∵∠C＝∠C，∠EDC＝∠B， ∴△ABC∽△EDC. ∴＝，即＝.∴CD＝. 返回首页 总目录索引 专题2　圆的证明与计算 首页 总目录 2.（2022·呼和浩特）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的☉O交BC于点D，交线段CA的延长线于点E，连接BE. （1）求证：BD＝CD； （2）若tan C＝，BD＝4，求AE. 返回首页 总目录索引 专题2　圆的证明与计算 首页 总目录 （1）证明：连接AD. ∵AB是☉O的直径，∴∠ADB＝90°. ∵AB＝AC，∴BD＝CD. （2）解：∵BD＝CD＝4， ∴BC＝DB＋CD＝8. 在Rt△ADC中，tan C＝， ∴AD＝CD·tan C＝4×＝2. ∴AC＝＝＝2. 返回首页 总目录索引 专题2　圆的证明与计算 首页 总目录 ∵AB是☉O的直径， ∴∠AEB＝90°. ∵∠AEB＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C， ∴△CEB∽△CDA. ∴＝，即＝，∴CE＝. ∴AE＝CE－AC＝－2＝. 返回首页 总目录索引 专题2　圆的证明与计算 首页 总目录 与切线判定有关的证明及计算 类型2 示例2 （2022·宁夏）如图，以线段AB为直径作☉O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交☉O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F.连接BD并延长交AC于点M. （1）求证：直线DE是☉O的切线； （2）求证：AB＝AM； 返回首页 总目录索引 专题2　圆的证明与计算 首页 总目录 （3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长. [分析] （1）连接OD，由∠ODA＝∠OAD＝∠DAC证明OD∥AC，得出∠ODF＝∠AED＝90°，即可证明直线DE是☉O的切线； 返回首页 总目录索引 专题2　圆的证明与计算 首页 总目录 （2）由线段AB是☉O的直径证明∠ADB＝90°，再根据等角的余角相等证明∠M＝∠ABM，则AB＝AM； （3）由∠AEF＝90°，∠F＝30°证明∠BAM＝60°，则△ABM是等边三角形，所以∠M＝60°，则∠EDM＝30°，所以BD＝MD＝2ME＝2，再证明∠BDF＝∠F，得BF＝BD＝2. 返回首页 总目录索引 专题2　圆的证明与计算 首页 总目录 [解答] （1）证明：连接OD，则OD＝OA， ∴∠ODA＝∠OAD. ∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠DAC. ∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC. ∵DE⊥AC