小专题11 最值问题-【火线100天】2023中考数学滚动总复习全练本（全国通用版）

小专题11最值问题 类型1垂线段最短 ·模型展示✉ >针对训练可 模型1一动一定 1.如图，在△ABC中， 如图，点P在直线1外，过点P作直线 ∠C=90°，AC=8, I的垂线段PH,则点P到直线（上所 BC=6,点P为斜边 有点的距离中，PH最短，即“垂线段 H AB上一动点，过点P 最短” 作PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,连 接EF,则线段EF的最小值为 模型2两动一定 2.(2022·娄底)如图，菱形ABCD的边长 问题：如图，点P是∠AOB的内部或边上一定点，在 为2，∠ABC=45°，点P,Q分别是边 OA上找一点M,在OB上找一点N,使得PN+MN BC,BD上的动点，则CQ+PQ的最小 的值最小. 值为 方法： 作点P关OB 的对称点P过 点P作OA的垂 线分别jOB, B ()A交于点N,材 模型3一动两定(“胡不归”问题)（选做） 3.(2021·眉山)如图，在菱形ABCD中， “胡不归”问题，即点P在直线（上运动时的“PA十 AB=AC=10,对角线AC,BD相交于 点O,点M在线段AC上，且AM=3,点 kPB(0<k<1)”型问题： P为线段BD上的一个动点，则MP+ 如图1，已知sin∠MBN=k,点P为∠MBN的一 边BM上的一个动点，点A在射线BM,BN的同侧， PB的最小值是 连接AP.则当PA十kPB的值最小时，点P的位置如 何确定？ 第3题图 第4题图 B O 4.(拓展题)如图，在平面直角坐标系中，二 图1 图2 图3 次函数y=x2一2x十c的图象与x轴交 【解题思路】本题的关键在于如何确定“kPB”的大 于A,C两点，与y轴交于点B(0,一3) 若点P是x轴上一动点，点D(0,1)在y 小，过点P作PQ⊥BN于点Q,则kPB=PB· 轴上，连接PD,则点C的坐标是 sin∠MBN=PQ.∴.可将求PA+kPB的最小值转化 ,2PD+PC的最小值是 为求PA十PQ的最小值（如图2），.当A,Q,P三点共 线时，PA十PQ的值最小（如图3），此时AQ⊥BN. 126 大线10天数单 类型2两点之间线段最短 ·模型展示✉ ·针对训练 模型1直线与两定点 5.如图，等边△ABC的边长为4，AD是 (1)当两定点A,B在直线（异侧时，在直线！上找一点 BC边上的中线，F是AD边上的动点， P,使得PA十PB最小. E是AC边上一点.若AE=2,当EF+ A CF取得最小值时，则∠DCF的度数为 +B B 作法：连接AB交直线L于点P,点P即为所求作 的点 结论：PA十PB的最小值为AB. (2)当两定点A,B在直线1同侧时，在直线（上找一点 6.(2021·永州)如图，A,B两点的坐标分 P,使得PA十PB最小. 别为A(4,3),B(0,一3)，在x轴上找一 点P,使线段PA十PB的值最小，则点 P的坐标是 B 作法：作点B关于直线l的对称点B',连接AB交直线 1 P L于点P,点P即为所求作的点 -3-2-10123 结论：PA十PB的最小值为AB' -2 38 (3)当两定点A,B在直线1同侧时，在直线1上找一点7.(2022·常德节选)如图，已知抛物线过 P,使得|PA-PB最大. 点O(0,0),A(5,5),且它的对称轴为直 线x=2.若点B(2,8),P是抛物线上的 B 动点，当PA一PB的值最大时，点P的 坐标为 ,PA一PB的最大 作法：连接AB并延长交直线！于点P,点P即为所求 作的点. 值为 结论：|PA一PB|的最大值为AB. (4)当两定点A,B在直线1异侧时，在直线1上找一点 P,使得PA一PB最大 A B 作法：作点B关于直线！的对称点B',连接AB并延长 交直线（于点P,点P即为所求作的点。 结论：PA一PB引的最大值为AB' 127 2模型2角与定点 8.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点 (1)点P在∠AOB内部，在OB边上找点D,OA边上 P,且OP=12,在OA上有一点Q,OB 找点C,使得△PCD周长最小. 上有一点R,则△PQR周长的最小值是 4 0 作法：分别作点P关于OA,OB的对称点P',P",连接 P'P",分别交OA,OB于点C,D,点C,D即为所求. 结论：△PCD周长的最小值为P'P” (2)点P,Q在∠AOB内部，在OB边上找点D,OA边9.(2022·遂宁节选)如图，在平面直角坐 上找点C,使得四边形PQDC周长最小. 标系中，抛物线y=x2十bx十c与x轴交 于A,B两点，与y轴交于点C.其中点 A的坐标为（一1,0），点C的坐标为(0， -3).E为△ABC的边AB上的一动 DiO'B 点，F为BC边上的一动点，点D的坐标 作法：分别作点P关于OA的对称点P',点Q关于OB 为(0，一2)，则△DEF周长的最小