专题08 离散型随机变量及分布列、数字特征-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点预测及技巧归纳（人教A版2019）

专题08离散型随机变量及分布列、数字特征 一、考点预测 基础知识 方法技巧 二、基础考点 考点一：随机变量的概念 考点二：离散型随机变量的判断 考点三：用随机变量表示事件的结果 考点四：求离散型随机变量的分布列 考点五：分布列的性质及应用 考点六：两点分布 考点七：求离散型随机变量的均值 考点八：离散型随机变量均值的性质 考点九：离散型随机变量均值的应用 考点十：求离散型随机变量的方差 考点十一：方差的性质的应用 考点十二：方差的简单应用 三、能力提升 提升一 提升二 提升三 提升四 四、考点检测 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【考点预测】 【基础知识】 一、随机变量的概念及分类 1．随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量. 2．离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z. 二、离散型随机变量的分布列 1．离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． 离散型随机变量的分布列可以用表格表示： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 离散型随机变量的分布列的性质： (1)pi≥0，i＝1,2，…，n； (2)p1＋p2＋…＋pn＝1. 2．对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示． X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布． 三、离散型随机变量的均值 均值：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望． 四、两点分布的均值 两点分布的均值：一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p. 五、均值的性质 离散型随机变量的均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 六、离散型随机变量的方差 方差：设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2 ，…，(xn－E(X))2 ，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，我们称 D(X)＝(x1－E(X))2 p1 ＋(x2－E(X))2 p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)． 【方法技巧】 1.对随机变量的理解 (1)在一次随机试验中，随机变量的取值实质上是随机试验的结果所对应的数． (2)有些随机试验的结果不具有数量关系，但我们仍可以用数量表示它． 2.关于离散型随机变量的判断 (1)把握离散型随机变量的特点：有限个或能一一列出； (2)根据实际情况或条件求出随机变量的取值进行判断． 3.关于离散型随机变量取值的意义 关键是明确随机试验产生随机变量的方法，这样就可以反推随机变量的取值对应的试验结果．这个试验结果对于求随机变量取值对应的概率至关重要． 4.离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)验证分布列是否正确； (2)求参数的取值或范围； (3)求随机变量在某个范围内取值的概率． 5.求离散型随机变量分布列时的关注点 (1)关键：搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用所学知识求出ξ取每一个值的概率． (2)技巧： ①对于随机变量ξ取值较多时，应由简单情况先导出通式，从而简化过程； ②要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可验证分布列是否正确． 6.若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为实数．一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(ξ)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b求出E(ξ). 7.求离散型随机变量ξ的数学期望的步骤 (1)根据ξ的实际意义，写出ξ的全部取值； (2)求出ξ的每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)利用定义求出数学期望． 其中第(1)，(2)两条是