第二章 第五节　幂函数与二次函数-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

[对应学生用书P271] [保分练] 1．若f(x)是幂函数，且满足＝3，则f等于(　　) A．3 B．－3 C． D．－ 解析　设f(x)＝xα，则＝2α＝3， ∴f＝＝. 答案　C 2．函数y＝的图象是(　　) 解析　由函数图象上的特殊点(1，1)，可排除A，D；由特殊点(8，2)，，可排除C，故选B. 答案　B 3．若幂函数在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为(　　) A．1或3 B．1 C．3 D．2 解析　由题意得m2－4m＋4＝1，m2－6m＋8>0， 解得m＝1. 答案　B 4．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则(　　) A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0 C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0 解析　由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为直线x＝－＝2，∴4a＋b＝0， 又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)， ∴f(x)先减后增，于是a>0，故选A. 答案　A 5．函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f(2－x)>0的解集为(　　) A．{x|－2<x<2} B．{x|x>2或x<－2} C．{x|0<x<4} D．{x|x>4或x<0} 解析　函数f(x)＝ax2＋(b－2a)x－2b为偶函数，则b－2a＝0，故f(x)＝ax2－4a＝a(x－2)·(x＋2)，因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以a>0.根据二次函数的性质可知，不等式f(2－x)>0的解集为{x|2－x>2或2－x<－2}＝{x|x<0或x>4}，故选D. 答案　D 6．已知函数f(x)＝4x2＋kx－8在[－1，2]上不单调，则实数k的取值范围是________． 解析　函数f(x)＝4x2＋kx－8的对称轴为直线x＝－，则－1<－<2，解得－16<k<8. 答案　(－16，8) 7．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象过坐标原点，且满足f(－x)＝f(－1＋x)，则函数f(x)在[－1，3]上的值域为________． 解析　因为函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象过坐标原点， 所以f(0)＝0，所以b＝0. 因为f(－x)＝f(－1＋x)， 所以函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝－， 所以a＝1，所以f(x)＝x2＋x＝－， 由f(x)的图象，知x∈[－1，3]时，f(x)min＝f＝－，f(x)max＝f(3)＝12. 故f(x)的值域为. 答案　 8．已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________． 解析　因为函数图象开口向上， 所以根据题意只需满足 解得－<m<0. 答案　 9．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数，a≠0，x∈R). (1)若函数f(x)的图象过点(－2，1)，且方程f(x)＝0有且只有一个根，求f(x)的表达式； (2)在(1)的条件下，当x∈[3，5]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围． 解析　(1)因为f(－2)＝1，即4a－2b＋1＝1，所以b＝2a. 因为方程f(x)＝0有且只有一个根， 所以Δ＝b2－4a＝0. 所以4a2－4a＝0，所以a＝1，b＝2. 所以f(x)＝x2＋2x＋1. (2)g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2－(k－2)x＋1＝＋1－. 由g(x)的图象，知要满足题意，则 ≥5或≤3，即k≥12或k≤8， 所以所求实数k的取值范围为(－∞，8]∪[12，＋∞). 10．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3. (1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域； (2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值． 解析　(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3， x∈[－2，3]， 函数图象的对称轴为直线x＝－∈[－2，3]， ∴f(x)min＝f＝－－3＝－， f(x)max＝f(3)＝15， ∴f(x)的值域为. (2)函数图象的对称轴为直线x＝－. ①当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3， ∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意； ②当－>1，即a<－时， f(x)max＝f(－1)＝－2a－1， ∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意． 综上可知，a＝－或－1. [提升练] 11．(2022·新疆第二次联考) 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，满足f(3＋x)＝f(3－x)，且f(4)<f(5)，则不等式f(1－x)<f(1)的解集为(　　) A．(0，＋∞) B．(－2，＋∞) C．(－4，