第二章 第六节　指数与指数函数-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

[对应学生用书P273] [保分练] 1．若实数a>0，则下列等式成立的是(　　) A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝ C．(－2)0＝－1 D．(a－)4＝ 解析　对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B，2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，(a－)4＝，故D正确． 答案　D 2．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．b>c>a 解析　y＝0.4x为减函数，∴0.40.6<0.40.2<0.40＝1，又20.2>1，即a>b>c. 答案　A 3．已知函数f(x)＝则函数f(x)是(　　) A.偶函数，在[0，＋∞)上单调递增 B．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减 C．奇函数，且单调递增 D．奇函数，且单调递减 解析　作出函数f(x)的图象(图略)，由图可知f(x)为奇函数，且f(x)在R上为增函数． 答案　C 4．函数y＝ax－a(a>0，a≠1)的图象可能是(　　) 解析　当a>1时，y＝ax－a为增函数，且过点(1，0)， 当x＝0时，y＝1－a<0，故选项A，B不正确； 当0<a<1时，y＝ax－a为减函数，且过点(1，0)， 当x＝0时，y＝1－a∈(0，1)，故选项C正确，D不正确． 答案　C 5．已知0<a<b<1，则(　　) A．(1－a)>(1－a)b B．(1－a)b>(1－a) C．(1＋a)a>(1＋b)b D．(1－a)a>(1－b)b 解析　∵y＝(1－a)x是减函数， ∴(1－a)a>(1－a)b， 又y＝xb在(0，＋∞)上是增函数，1－a>1－b， ∴(1－a)b>(1－b)b， ∴(1－a)a>(1－b)b.D正确，其余均错误． 答案　D 6．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　) A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 解析　由R0＝1＋rT，R0＝3.28，T＝6， 得r＝＝＝0.38. 由题意，累计感染病例数增加1倍， 则I(t2)＝2I(t1)， 即e0.38t2＝2e0.38t1， 所以e0.38(t2－t1)＝2， 即0.38(t2－t1)＝ln 2， 所以t2－t1＝≈≈1.8. 答案　B 7．化简：(a>0，b>0)＝________． 解析　原式＝ ＝a－－－·b＋－＝. 答案　 8．已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大，则a的值为________． 解析　当0<a<1时，a－a2＝， ∴a＝或a＝0(舍去).当a>1时，a2－a＝， ∴a＝或a＝0(舍去).综上所述，a＝或. 答案　或 9．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是________． 解析　由f(1)＝，得a2＝， 所以a＝或a＝－(舍去)， 即f(x)＝. 由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，y＝在(－∞，＋∞)上单调递减， 所以f(x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减． 答案　[2，＋∞) 10．已知函数f(x)＝的值域是[－8，1]，则实数a的取值范围是________． 解析　当0≤x≤4时，f(x)∈[－8，1]， 当a≤x<0时，f(x)∈， 所以[－8，1]， 即－8≤－<－1，即－3≤a<0. 所以实数a的取值范围是[－3，0). 答案　[－3，0) 11．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24). (1)求f(x)的解析式； (2)若不等式＋－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围． 解析　(1)因为f(x)的图象过A(1，6)，B(3，24)， 所以所以a2＝4， 又a>0，所以a＝2，b＝3.所以f(x)＝3·2x. (2)由(1)知a＝2，b＝3， 则当x∈(－∞，1]时，＋－m≥0恒成立， 即m≤＋在(－∞，1]上恒成立． 又y＝与y＝在(－∞，1]上均单调递减，所以y＝＋在(－∞，1]上也单调递减，所以当x＝1时，y＝＋有最小值，所以m≤，即m的取值范围是. [提升练] 12．