第二章 第二节　函数的单调性和最值-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

[对应学生用书P265] [保分练] 1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝ln (x＋2) B．y＝－ C．y＝ D．y＝x＋ 解析　函数y＝ln (x＋2)的单调递增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定单调递增． 答案　A 2．设a∈R，函数f(x)在R上是增函数，则(　　) A．f(a2＋a＋2)>f B．f(a2＋a＋2)<f C．f(a2＋a＋2)≥f D．f(a2＋a＋2)≤f 解析　∵a2＋a＋2＝＋≥， 又f(x)在R上是增函数， ∴f(a2＋a＋2)≥f. 答案　C 3．函数f(x)＝在(　　) A．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数 B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数 C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数 D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数 解析　函数f(x)的定义域为{x|x≠1}．f(x)＝＝－1，根据函数y＝－的单调性及有关性质，可知f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数． 答案　C 4．已知函数f(x)是定义域为[0，＋∞)上的减函数，且f(2)＝－1，则满足f(2x－4)>－1的实数x的取值范围是(　　) A．(3，＋∞) B．(－∞，3) C．[2，3) D．[0，3) 解析　f(x)在定义域[0，＋∞)上是减函数，且f(2)＝－1， ∴f(2x－4)>－1可化为f(2x－4)>f(2)， ∴解得2≤x<3. 答案　C 5．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1，2]上都是减函数，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，0)∪(0，1) B．(－1，0)∪(0，1] C．(0，1) D．(0，1] 解析　因为f(x)＝－x2＋2ax在[1，2]上是减函数，所以a≤1，又因为g(x)＝在[1，2]上是减函数，所以a>0，所以0<a≤1，故选D. 答案　D 6．设函数f(x)＝在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则＝________． 解析　f(x)＝＝＝2＋在[3，4]上是减函数， ∴f(x)min＝f(4)＝4，f(x)max＝f(3)＝6， ∴M＝6，m＝4，∴＝＝. 答案　 7．函数f(x)＝ex＋x－e，若实数a(a>0且a≠1)满足f<1，则a的取值范围为________． 解析　f(x)＝ex＋x－e，∴f(x)在R上为增函数且f(1)＝1， ∴f<1可化为f<f(1)， ∴loga<1，当0<a<1时，0<a<， 当a>1时，符合题意． ∴a的取值范围是∪(1，＋∞). 答案　∪(1，＋∞) 8．设函数f(x)＝若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________________________． 解析　函数f(x)的图象如图所示， 由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4. 答案　(－∞，1]∪[4，＋∞) 9．已知函数f(x)＝ax－＋(a>0)，且f(x)在(0，1]上的最大值为g(a)，求g(a)的最小值． 解析　f(x)＝ax－＋(a>0)， ∴f(x)在(0，1]上为增函数， ∴f(x)max＝f(1)＝a＋， ∴g(a)＝a＋≥2，当且仅当a＝即a＝1时取等号， ∴g(a)的最小值为2. 10．已知函数f(x)＝2a＋2x－(a>0，x>0). (1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f(x)在[1，3]上的最大值是最小值的2倍，求a的值． 解析　(1)证明　设0<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝2(x1－x2)＋，由于0<x1<x2， 故x1－x2<0，－<0， 据此可得f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)， 即函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数． (2)由函数的单调性结合题意可得f(3)＝2f(1)，即2a＋6－＝2(2a＋2－1)， 解得a＝. [提升练] 11．已知函数f(x)＝当x∈[m，m＋1]时，不等式f(2m－x)<f(x＋m)恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－4) B．(－∞，－2) C．(－2，2) D．(－∞，0) 解析　易知函数f(x)＝在x∈R上单调递减， 又f(2m－x)<f(x＋m)在x∈[m，m＋1]上恒成立， 所以2m－x>x＋m，即2x<m在x∈[m，m＋1]上恒成立， 所以2(m＋1)<m， 解得m<－2. 答案　B 12．如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数，且函数y＝在区间I上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”．若函数f(x)＝x2－x＋是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为________． 解析