祖暅原理与柱体、锥体、球的体积 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

祖暅原理 与柱体、锥体、球的体积 祖暅简介 祖暅(5世纪-6世纪)，字景烁， 我国南北朝时期伟大科学家，祖冲之之子. “祖暅原理”被西方称为“卡瓦列里”原理，要比其他国家早一千多年.在欧洲直到17世纪，意大利数学家卡瓦列里才发现“祖暅原理”的结论. 成就: 祖暅修补编辑了祖冲之的《缀术》,十分巧妙的推导了球的体积公式. l1 问题1：平面内，相距h的平行线l1与l2内，有底边长为a，高为h的矩形和平行四边形,见下图,它们的面积相等吗? S矩形= S平行四边形 =ah a a h l2 祖暅原理：幂势既同，则积不容异 祖暅原理 图2 图1 夹在平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面的面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等. (“幂”是截面积，“势”是几何体的高.) 1.柱体体积的计算公式 h V长方体=Sh 由祖暅原理可知： 等底面积S等高h的 任意两个柱体的体积相等. V柱体=Sh 图3 结论1： 问题2：设有底面积都等于S，高都等于h的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，使它们的下底面在同一个平面内,见图3,它们的体积相等吗? 2.锥体体积的计算公式 问题3：设底面积都为S、高都等于h的两个锥体,它们的底面在同一个平面内，它们的体积之间有怎样的关系呢？为什么？ 图4 分析：当锥体被平行于底面的平面所截时，得到的截面与底面相似. 由祖暅原理可知 等底面积S、等高h的两个锥体，体积相等. A B C A1 B1 C1 A B C A1 B1 C1 C A1 B1 C1 A B A1 C 图5 图5(a) 图5(b) 图5(c) 问题4：三棱柱分割成三个三棱锥, 它们三个的体积相等吗？为什么？ 1.观察图5(a)与图5(c): (1) (2)高为A1到平面ABC的距离 2.观察图5(b)与图5(c): (1) (2)高为点A1平面BCC1B1的距离 7 2.锥体体积的计算公式 等底面积S等高h的任意两个锥体的体积相等 结论2： 3.球体体积的计算公式 R R R R 给出以下三种几何模型，其高与底面半径均为R 问题5：你能用它们来推导球的体积公式吗？ 步骤： 1.拿出圆锥和圆柱 2.将圆锥倒立放入圆柱 注意: O2 O O3 A B O1 分析: 结论3： 4.小结 知识点总结: 思想总结: (1) 祖暅原理． (2) 柱体与锥体的体积公式． (3) 球的体积公式． 化归思想 ①借助“祖暅原理”,所有柱体的体积转化为长方体的体积； ②柱体都可以分为三个等体积的锥体； ③球的体积转化为圆柱体积和圆锥体积的差. 5.探究作业 请各小组利用祖暅原理探究球的体积公式的思想探究椭球的 体积公式，椭球的体积公式如下: x y z A B C 椭球的球心在坐标原点,与x,y,z轴正向的交点分别为 A(0,0,a),B(0,b,0),C(0,0,c), 其中a,b,c分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半轴. c a b o 谢谢大家！ 中国人民大学附属中学通州校区 The High School Affiliated to Renmin University of China, Tongzhou Campus Lavf58.33.100 Lavf58.33.100 Lavf58.33.100 Lavf58.33.100 Lavf58.33.100 $