专题04 二项式定理（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点大串讲（苏教版2019选择性必修第二册）

04 二项式定理 知识点1 二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)． (2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项． (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C． 知识点2 二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． (2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值． (3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n. 知识点3 两个常用公式 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n. (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 知识点4 二项展开式的三个重要特征 (1)字母a的指数按降幂排列由n到0. (2)字母b的指数按升幂排列由0到n. (3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n. 考点1 二项式展开式问题 【例1】展开式中x项的系数为(　　 ) A．28 B．－28 C．112 D．－112 【总结】求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤 第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式Tr＋1＝Can－rbr，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)； 第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r； 第三步，把r代入通项公式中，即可求出Tr＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出Tr＋1或者其他量． 【变式1-1】二项式的展开式的常数项为60，则a的值为(　　 ) A．2 B．－2 C．±2 D．±3 【变式1-2】若二项式的展开式中第5项是常数项，则正整数n的值可能为(　　 ) A．6 B．10 C．12 D．15 考点2 形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式的特定项 【例2】(2022·烟台模拟)(1－2)8展开式中x项的系数为(　　) A．28 B．－28 C．112 D．－112 【变式2-1】(2022·德州模拟)若n∈Z，且3≤n≤6，则n的展开式中的常数项为______． 考点3 形如(a＋b)m(c＋d)n (m，n∈N*)的展开式问题 【例3】(2022·泰安模拟)(x3－2)6的展开式中x6的系数为(　　) A．6 B．10 C．13 D．15 【总结】 (1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可． (2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏． 【变式3-1】(2022·合肥模拟)二项式(1－2x)4的展开式中x3项的系数是－70，则实数a的值为(　　) A．－2 B．2 C．－4 D．4 【变式3-2】(2022·菏泽模拟)已知正整数n≥7，若(1－x)n的展开式中不含x5的项，则n的值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 【变式3-3】(2022·烟台模拟)在(x2＋2x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　) A．60 B．30 C．15 D．12 【变式3-4】(2021·北京)4的展开式中常数项为________． 【变式3-5】(2022·攀枝花模拟)(1＋2x)5的展开式中，含x3的项的系数是(　　) A．－112 B．－48 C．48 D．112 【变式3-6】6的展开式中，含x4项的系数为(　　) A．4 B．6 C．10 D．15 考点4 两个多项式积的展开式问题 【例4】的展开式中x3y3项的系数为(　　 ) A．80 B．160 C．200 D．240 【总结】求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步，根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式； 第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到； 第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量． 【变式4-1】(2)·的展开式中的常数项为(　　 ) A．12 B．15 C．20 D．35 【变式4-2】已知(2－mx)的展开式中的常数项为8，则实数m＝(　　 ) A．2 B．－2 C．－3 D．3 【变式4-3】(x2－2x－1)的展开式中的常数项是________． 【变式4