专题03 计数原理、排列、组合（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点大串讲（苏教版2019选择性必修第二册）

03 计数原理、排列、组合 知识点1 两个计数原理 (1)分类加法计数原理： 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ m＋n种不同的方法． (2)分步乘法计数原理： 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 知识点2 排列与组合 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 组合 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 知识点3 排列数与组合数 (1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示． 知识点4 排列数、组合数的公式及性质 公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝ ＝ 性质 0！＝1，A＝n！ C＝C，C＝C＋C 考点1 分类加法计数原理 【例1】三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有(　　 ) A．4种 B．6种 C．10种 D．16种 【总结】利用分类加法计数原理计数时的解题流程 【变式1-1】如图，从A到O有________种不同的走法(不重复过一点)． 【变式1-2】如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个． 【变式1-3】若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(　　) A．60种 B．63种 C．65种 D．66种 【变式1-4】如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2且a2>a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为 ． 【变式1-5】某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(　　) A．4种 B．10种 C．18种 D．20种 【变式1-6】如图所示，某景观湖内有四个人工小岛，为方便游客登岛观赏美景，现计划设计三座景观桥连通四个小岛，每座桥只能连通两个小岛，且每个小岛最多有两座桥连接，则设计方案的种数最多是(　　) A．8 B．12 C．16 D．24 【变式1-7】在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有(　　) A．50个 B．45个 C．36个 D．35个 【变式1-8】已知集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是(　　) A．9 B．14 C．15 D．21 考点2 分步乘法计数原理 【例2】某学校有东、南、西、北四个校门，受新冠肺炎疫情的影响，学校对进入四个校门做出如下规定：学生只能从东门或西门进入校园，教师只能从南门或北门进入校园．现有2名教师和3名学生要进入校园(不分先后顺序)，请问进入校园的方式共有(　　 ) A．6种 B．12种 C．24种 D．32种 【总结】利用分步乘法计数原理解题的策略 (1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的． (2)将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成． 【变式2-1】有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法． 【变式2-2】中国古代将物质属性分为“金、木、土、水、火”五种，其相互关系是“金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，则属性相克的两种物质不相邻的排法种数为(　　) A．8 B．10 C．15 D．20 【变式2-3】2．五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为________．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有________种． 【变式2-4】某学校的3个班级将要去甲、乙、丙、丁4个工厂参观学习，要求每个班只能去1个工厂参观学习，且甲工厂必须有班级参观学习，则不同的参观方案有(　　) A．16种 B．25种 C．37种 D