类型十 二次根式的代数新定义-2022-2023学年八年级数学下册题型突破提高（苏科版）

类型十、二次根式的代数新定义 【解惑】 对于任意不相等的两个正实数a，b，定义一种运算“▲”如下：a▲b＝，如3▲2＝．根据定义，则4▲7＝_____． 方法：直接模仿公式将原式变形即可． 【融会贯通】 1．对于任意的实数m，n，定义一种词“”，，则（　　） A． B．4 C． D． 2．定义一种新运算：对于任意实数a，b，都有，____________． 3．对于任意两个正数m、n，定义运算※为： 计算的结果为 _____． 【知不足】 1．定义：在平面内， 一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离． 如图， 在平面内有一个正方形， 边长为3 ， 中心为， 在正方形外有点，， 当正方形绕着点 旋转时， 则点到正方形的最短距离的取值范围为____________． 2．对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下，，如：，那么6*（5*4）=_____． 3．定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为 ，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将中的“根号”去掉，于是二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)对偶式与之间的关系为______． A．互为相反数        B．互为倒数            C．绝对值相等        D．没有任何关系 (2)已知，，求的值． (3)解方程：（提示：利用“对偶式”相关知识，令）． 4．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开平方运算是互逆运算．如，那么如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义： 若，则称点为点的“横负纵变点”例：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； (2)化简：______； (3)已知为常数，点且，点是点的“横负纵变点”，则点的坐标是______． 【一览众山小】 1.用定义一种新运算：对于任意实数和，规定． (1)求的值． (2)_____________． 2．定义：若两个二次根式，满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．问题解决： (1)若与是关于6的共轭二次根式，则_______； (2)若与是关于某数C的共轭二次根式，求有理数m的值． 3．在学习二次根式时，小明同学发现了两个非常有趣的式子，分别把它们定义为“L运算”和“X运算”．其中，．为了使二次根式有意义，我们规定a为实数，且满足． (1)求证：； (2)若实数x满足，求x的值； (3)已知实数x，y满足，t为任意实数，求代数式的最小值． 4．阅读以下材料： 对于实数、、定义两种新运算，规定表示这三个数的平均数， 表示这三个数中最小的数，例如：；． （1）求的值； （2）已知对于任意实数、、都成立，则、、应满足怎样的关系式？ （3）已知，求的值． 5．我们定义：如果两个实数的和等于这两个实数的积，那么这两个实数就叫做“和积等数对”，即如果，那么与就叫做“和积等数对”，记为．例如：，，则称数对，为“和积等数对”． （1）判断和是否是“和积等数对”，并说明理由： （2）如果（其中，）是“和积等数对”，那么 （用含有的代数式表示）． 【温故为师】 1．我们规定用表示一对数对，给出如下定义：记（其中），将与称为数对的一对“和谐数对”．例如：的一对“和谐数对”为和． (1)数对的一对“和谐数对”是________； (2)若数对的一对“和谐数对”相同，则m的值为______； (3)若数对的一个“和谐数对”是，则的值为________． 2．定义：我们将（＋）与（－）称为一对“对偶式”．因为（＋）（－）＝（）2 －（）2＝a－b，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将（＋）和（－）中的“”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如＝＝3＋2．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)请直接写出＋的对偶式_________； (2)已知m＝，n＝，求的值； (3)利用“对偶式”相关知识解方程：－＝2，其中x≤4． 3．对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“◎”如下： ，如． (1)填空：___________． (2)若，求x的值． 4．我们规定用表示一对数对，给出如下定义：记，（，）