第十七章 勾股定理(题型过关)-【高分突破系列】2022-2023学年八年级数学下册同步知识点剖析精品讲义（人教版）

第十七章 勾股定理 【题型一】利用勾股定理解三角形 典例1．（2022秋·浙江·八年级期中）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE． （1）求证：△ABC≌△DCE； （2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长． 变式1-1．（2022秋·吉林长春·八年级期末）如图，在△ABC和△DEB中，AC∥BE，∠C＝90°，AB＝DE，点D为BC的中点，． （1）求证：△ABC≌△DEB． （2）连结AE，若BC＝4，直接写出AE的长． 变式1-2．（2022秋·上海松江·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，边AC的垂直平分线分别交边BC、AC于点D、E，DC＝6．求AB的长． 变式1-3．（2022秋·广东茂名·八年级校考期中）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|． (1)已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离； (2)已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离； (3)已知一个三角形各顶点坐标为D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由． 【题型二】利用勾股定理解决折叠问题 典例2．（2022秋·广东佛山·八年级佛山市南海石门实验中学校考期中）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使点C落在斜边上的点E处，试求的长． 变式2-1．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在长方形纸片中，，，将其折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕交于点E，交于点F． (1)求线段的长． (2)线段的长为______． 变式2-2．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，已知长方形纸片，点在边上，将沿折叠，点落在点处，分别交于点，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)求的长． 变式2-3．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）如图是三个全等的直角三角形纸片，且，按如图的三种方法分别将其折叠，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为． (1)若，求的值． (2)若，求①单个直角三角形纸片的面积是多少？②此时的值是多少？ 【题型三】勾股定理的证明方法 典例3．（2022秋·四川眉山·八年级统考期末）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理． 变式3-1．（2022秋·广东广州·八年级期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式． （1）如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是 　 　； （2）如图2所示的大正方形，是由四个三边长分别为a、b、c的全等的直角三角形（a、b为直角边）和一个正方形拼成，试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，并探究a、b、c之间满足怎样的等量关系； （3）利用（1）（2）的结论，如果直角三角形两直角边满足a+b＝17，ab＝60，求斜边c的值． 变式3-2．（2022秋·吉林长春·八年级统考期末）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第页的部分内容． 把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点、、在同一条直线上，利用此图的面积表示式证明勾股定理． (1)请结合图①，写出完整的证明过程； (2)如图②，等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，AB=2，P是射线BC上一点，以AP为直角边在AP边的右侧作△APD，使∠APD=90°，AP=PD．过点D，作DE⊥BC于点E，当DE=4时，则BD=______． 变式3-3．（2022春·广西南宁·八年级南宁三中校考期末）【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． 【实践操作】勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，图1、图2、图3是三种常见的证明方法，请你从中任选一种证明勾股定理（图中出现的直角三角形大小形状均相同）． 【探索发现】如图4，以直角三角形的三边为边向外部作等边三角形，请