专题17 （特殊）平行四边形的动点和最值等问题（热考题型）-【一题三变系列】2022-2023学年八年级数学下册重要考点题型精讲精练(沪科版)

专题17 （特殊）平行四边形专题 【思维导图】 ◎考点题型1 中点四边形 例．（2023春·全国·八年级专题练习）已知：如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形即四边形的中点四边形． (1)四边形的形状是______，请证明你的结论； (2)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是菱形； (3)你学过的哪种特殊的平行四边形的中点四边形是菱形？请写出一种． 变式1．（2023春·全国·八年级专题练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： 下列四边形中一定是“中方四边形”的是_____________． A．平行四边形            B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究： 如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论； 问题解决： 如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点， （1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由． （2）若AC=2，求AB+CD的最小值． 变式2．（2023春·江苏·八年级专题练习）四边形ABCD，点M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、AD的中点． (1)如图1，顺次连结M、N、P、Q得到四边形ANPQ，试猜想四边形MNPQ的形状并证明； (2)如图2，若∠B＝∠C，AB＝CD，顺次连结M、N、P、Q得到四边形MNPQ，试猜想四边形MNPQ的形状并证明； (3)如图3，若∠BCD＝90°，BC＝8，CD＝6，AB＝3，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是______． 变式3．（2023春·全国·八年级专题练习）【猜想结论】如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，可以根据度量或目测猜想结论：DEBC，且DEBC． (1)【验证结论】如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得EF＝DE，连接FC．求证：DEBC，DEBC． (2)【应用结论】如图3，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接四边形ABCD各边中点得到新四边形EFGH，称为四边形ABCD中点四边形．应用上述验证结论，求解下列问题： ①证明：四边形EFGH是平行四边形； ②当AC、BD满足 　 　时，四边形EFGH是矩形； ③当AC、BD满足 　 　时，四边形EFGH是正方形． ◎考点题型2 利用平行四边形的对称性求阴影部分面积 例．（2020·全国·九年级专题练习）已知：在四边形中，，，，． （）求四边形的面积． （）点是线段上的动点，连接、，求周长的最小值及此时的长． （）点是线段上的动点，、为边上的点，，连接、，分别交、 于点、，记和重叠部分的面积为，求的最值． 变式1．（2018春·河南·八年级河南省实验中学校考期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：，，；则8、16、24这三个数都是奇特数． （1）填空：32___________奇特数，2018_________奇特数．（填“是”或者“不是”） （2）设两个连续奇数是和（其中取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？ （3）如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形，其边长为403，求阴影部分的面积． 变式2．（2019秋·黑龙江大庆·八年级统考期中）如图，在两个一大一小的正方形拼成的图形中，小正方形的面积是10平方厘米，阴影部分的面积为______平方厘米． 变式3．（2022秋·九年级单元测试）如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． ◎考点题型3 平行四边形的动点问题 例．（2022秋·四川眉山·九年级校考阶段练习）如图，已知正方形的边长为，动点从点出发，以的速度沿方向向点运动，动点从点出发，以的速度沿方向向点运动，若、两点同时出发运动时间为． (1)连接、、，求当为何值时，的面积为？ (2)当点P在上运动时，是否存在这样的t使得是以为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． 变式1．（2023秋·河北石家庄·七年级校考期末）如图，欢欢和乐乐分别站在正方形广场的顶点A和顶点C