17.1 第1课时 勾股定理的概念及证明-【数学一号】2022-2023学年八年级下册初二数学全能讲练一体化（人教版）

第十七章勾股定理 第十七章 勾股定理 17.1勾股定理 第1课时 勾股定理的概念及证明 基础过关 又称之为“商高定理”：三国时代的蒋铭祖在 《蒋铭祖算经》中对勾股定理做出了详细注 知识点1勾股定理的概念 释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中， 1.(2022·德阳期末)在△ABC中，已知BC 不能证明勾股定理的是 () 4,AB=5,∠C=90°，则AC的长为( A.6 B.√4I C.4 D.3 2.一个直角三角形的两条直角边分别是5和 12,则斜边长为 ( A.15 B.13 C.12 D.10 3.勾股定理在《九章算术》中的表述是“勾股各 自乘，并而开方除之，即弦”，即c=√a十 (a为勾，b为股，c为弦).若“勾”的长为2， “股”的长为3，则“弦”的长为 7.“赵爽弦图”是我国古代数学 4.在Rt△ABC中，已知三边的长分别是a,b,c, 的骄傲，它巧妙利用面积关系 若斜边c=3,则a2+?+c2的值为 证明了勾股定理.如图，“弦 5.在△ABC中，已知∠A,∠B,∠C的对边分 图”是由四个全等的直角三角形和一个小正 别是a,b,c,且∠C=90°.若c=10cm,ab 方形拼成的一个大正方形，设直角三角形中 3:4,求边a,b的长 较短的直角边长为a,较长的直角边长为b. 若ab=6,小正方形的面积为9，则大正方形 的面积为 8.如图，点B,D,C在一条直线上，AB⊥CE, 解法提醒 ∠ADB=∠ADC=90°，BD=DE,∠DAC 运用勾股定理时，一定要先弄清哪个角是直角， 45°.若BD=a,AD=b,AB=c,请利用此图 再分别确定已知边、所求边是直角边还是斜边 的面积式证明勾股定理。 知识点2勾股定理的证明 6.(2022·绵阳期中)我国是最早了解勾股定 理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定 理的公式与证明是在商代由商高发现的，故 417 新课程学易与检测①年级下册) (2)如图2，若AF=BC,求证：BF+EF2 能力提升 AE?. 9.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国 古算书《周牌算经》中就有“若勾三，股四，则 弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正 方形和直角三角形构成的，可以用其面积关 系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内 思维拓展 得到的，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,点D, E,F,G,H,I都在长方形KLMJ的边上，则 13.直角三角形如图1或图2摆放时，都可以 长方形KLM)的面积为 用“面积法”来证明勾股定理.下面是小聪 利用图1证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆 放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b=2. 证明：连接DB,过点D作BC边上的高 DF,则DF=EC=b-a. 图 图2 :Sna5=Sm+Se=+db, 10.直角三角形的两边长为5和7，则第三边长 为 Snaww-Sm ++ab-a), 1 11.如图，在Rt△ABC中， 两直角边BC和AB的 长分别是3和4，以斜 ∴.a2+b=c2. 边AC为边作一个正方 H 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明. 形ACDE,再以正方形 B 3C 将两个全等的直角三角形按图2所示摆 的边AE为斜边作Rt△AFE,然后依次以 放，其中∠DAB=90°，求证：a2+=c2. 两直角边AF和EF为边分别作正方形 AHGF和EFMN,则图中阴影部分的面积 为 12.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于 点D,点E在边AC上，且∠CBE=45°，BE 分别交AC,AD于点E,F. 图2 图1 图2 (1)如图1，若AB=13,BC=10,求AF的长： 4418◆（3)解：原式-3w2+3-1-2+1+2-子豆+2. 10.26或√/74【解析】若7为斜边，根据勾股定理，得第三边 长为7一5=2，若7为直角边，根据勾股定理，得第 141)解：原式-(62-V2×号×受)+(-22)-(6反 三边长为√3+7-√74.故答案为26或/. 22)÷(-22)=42+(-2②)--2 11,25【解析】由图可知，SE素UhE+SE方老N=FA+ (2)解：原式-2)--名-2-(2-1D+3=2 FE一AE.又：四边形ACDE为正方形，∠AB-90°， 2 ,AE=AC=BC+A形=3+4=25，即图中阴影部 1是-2-+1+92 分的面积为25.故答案为25. 2 2 12.(1)解：，AB-AC,AD⊥BC,.BD=CD.BC=10: 15.解：a-w7+2,b-万-2.a十b=7+2+7-2- .BD=5,在Rt△ABD中，AB=13,BD=5,,AD= 2W7,a-b=7+2-√7+2=4，ab=(w7+2)(7-2)= /AB-BD-13-5-12.在R:△BDF中. W7)-2-3.