专题14 数列综合问题中的新文化、新定义问题（典型例题+跟踪训练）【解答题抢分专题】备战2023年高考数学精讲精练（新高考通用）

【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用） 专题14 数列综合问题中的新文化、新定义问题 目录一览 一、典型例题讲解 二、梳理必备知识 三、基础知识过关 四、解题技巧实战 五、跟踪训练达标 六、高考真题衔接 一、典型例题讲解 【典例1】篮球诞生美国马萨诸塞州的春田学院．1891年，春田学院的体育教师加拿大人詹姆斯奈史密斯博士（James Naismith）为了对付冬季寒冷的气温，让学生们能够在室内有限的空间里继续进行有趣的传球训练．现有甲、乙、丙3名同学在某次传球的训练中，球从甲开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲手里的概率为pn，第n次传球之前球在乙手里的概率为qn，显然p1=1，q1=0． (1)求p3＋2q3的值； (2)比较p8，q8的大小． 【典例2】在数列中，若，且， 则称为“数列”.设为“数列”，记的前项和为. (1)若，求，，的值； (2)若，求的值； (3)证明：中总有一项为1或3. 【典例详解】 【典例1】【分析】（1）分析传球的过程，求出和，即可求出；（2）由题意知，即可得到，判断出成首项为，公比为的等比数列，求出，同理求出，可以比较出． (1)第3次传球之前，球在甲手中的情形何分为：甲→乙→甲或甲→丙→甲 所以，第3次传球之前，球在乙手里的情形仅有：甲→丙→乙，所以，所以. (2)由题意知，整理得： 所以，，所以成首项为，公比为的等比数列， 又 同理成首项为，公比为的等比数列， 所以 因为，，，，所以． 【典例2】【分析】（1）根据递推公式列出数列中的项，找规律，发现周期性即可得到答案； （2）根据题意分情况进行求解即可得到答案； （3）首先证明：一定存在某个，使得成立，再进行检验即可得到答案. 【详解】（1）当时，中的各项依次为10，5，8，4，2，1，4，2，1，， 即数列从第四项开始每三项是一个周期， 所以，， ，，， 所以. （2）①若是奇数，则是偶数，， 由，得，解得，适合题意. ②若是偶数，不妨设，则. 若是偶数，则，由，得，此方程无整数解； 若是奇数，则，由，得，此方程无整数解.综上，. （3）证明：首先证明：一定存在某个，使得成立.否则，对每一个，都有， 则在为奇数时，必有；在为偶数时，有，或. 因此，若对每一个，都有，则，，，单调递减， 注意到，显然这一过程不可能无限进行下去，所以必定存在某个，使得成立. 经检验，当，或，或时，中出现1；当时，中出现3，综上，中总有一项为1或3. 解题技巧：仔细读题，了解定义和文化的内涵是至关重要的。但是扎实的数列功底是写题的必要条件！ 二、梳理必备知识 1.数列中的新定义问题 数列中的新定义问题主要是抓住新定义的意义，熟读多读题，了解新定义的内涵，本质考查的还是数列的基础知识! 2.数列中的新文化问题 立足文化背景，考查核心素养，发挥育人功能！一般当作背景考查，与实际生活的应用一般体现在“分期付款”，“产值增长”等模型中，抓住其中特征即可。 三、基础知识过关 1．对于一切实数x，令为不大于x的最大整数，则函数称为高斯函数或取整函数.若，，为数列的前n项和，则（    ） A． B． C． D． 2．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记，则（    ） A． B． C． D． 3．如果数列满足（k为常数），那么数列叫做等比差数列，k叫做公比差．下列四个结论中所有正确结论的序号是（    ） ①若数列满足，则该数列是等比差数列；②数列是等比差数列； ③所有的等比数列都是等比差数列；④存在等差数列是等比差数列． A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 4．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半(即)；如果是奇数，则将它乘3加1(即)，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数(首项)按照上述规则施行变换后的第6项为1（注：1可以多次出现)，则的所有不同值的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．32 5．已知，我们把使乘积…为整数的数叫做“优数”，则在区间内的所有优数的和为 A．1024 B．2003 C．2026 D．2048 6．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了垛积问题，涉及逐项差数之差或者高次差成等差数列的高阶等差数列.现有一个高阶等差数列的前6项分别为，则该数列的第18项为（