17.1 第1课时 勾股定理的概念及证明-【数学一号】2022-2023学年八年级下册初二数学全能讲练一体化（人教版）教用版

第十七章勾股定理 第十七章 勾股定理 17.1勾股定理 第1课时 勾股定理的概念及证明 基础过关 知识点1勾股定理的概念 1.(2022·德阳期末)在△ABC中，已知BC 4,AB=5,∠C=90°，则AC的长为(D) A.6 B.4T C.4 D.3 7.“赵爽弦图”是我国古代数学 2.一个直角三角形的两条直角边分别是5和 的骄傲，它巧妙利用面积关系 12,则斜边长为 (B) 证明了勾股定理.如图，“弦 A.15 B.13 C.12 D.10 图”是由四个全等的直角三角 3.勾股定理在《九章算术》中的表述是“勾股各 形和一个小正方形拼成的 自乘，并而开方除之，即弦”，即=√a+ 个大正方形，设直角三角形中较短的直角边 (a为勾，b为股，c为弦).若“勾”的长为2， 长为a,较长的直角边长为b.若ab=6,小正方 “股”的长为3，则“弦”的长为 形的面积为9，则大正方形的面积为21. 4.在Rt△ABC中，已知三边的长分别是a,b,c, 8.如图，点B,D.C在一条直线上，AB⊥CE, ∠ADB=∠ADC=90°，BD=DE,∠DAC= 若斜边c=3,则a2++c2的值为18. 45°.若BD=a,AD=b,AB=c,请利用此图 5.在△ABC中，已知∠A,∠B,∠C的对边分 的面积式证明勾股定理. 别是a,b,c,且∠C=90°.若c=10cm,a:b 3:4,求边a,b的长 解：∠C=90°c=10cm,4b=34,.可设a 3rcm,b=4xcm,根据题意，得(3.x)户十(4x)= 10,解得x=2..∴.3x=6,4.x=8,即d=6cm.b= 8 cm. 答图 解法提醒 证明：如答图，延长CE,交AB于点F,设EF=x 运用勾股定理时，一定要先弄清哪个角是直角， :Sm=Se+Sw+Sd专AB·CF 再分别确定已知边、所求边是直角边还是斜边. AB·EF+号BD·DE+号DC·AD.易证得 知识点2勾股定理的证明 △ABD≌△CED,.CE=AB=e,DE=DB=a 6.(2022·绵阳期中)我国是最早了解勾股定 理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定 CD-AD-6c+)r++号，即 1 1 ，1 222 1 理的公式与证明是在商代由商高发现的，故 2a” 又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖在 《蒋铭祖算经》中对勾股定理做出了详细注 2.公+6=c2 释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中， 能力提升 不能证明勾股定理的是 (D) 9.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国 古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则 弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正 方形和直角三角形构成的，可以用其面积关 系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内 得到的，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,点D B E,F,G,H,I都在长方形KLMJ的边上，则 17 兰一新课程学易与起测①年级下册》 长方形KLM)的面积为10 12.在Rt△BDF中，∠CBE=5,.△BDF 是等腰直角三角形，，.DF=BD=5..AF AD-DF=12-5=7. (2)证明：如图，在BF上取一点H,使BH= EF,连接CF,CH.在△CHB和△AEF中 BH=FE. ∠CBH-∠AFE-45.∴.△CHB≌△AEF(SAS). BC=FA. ∴.CH=AE.∠CHB ∠AEF..∠CEF 图1 图2 ∠CHE.∴.CE=CH. 【解析】如图，延长AB,交KF BD CD.FD 于点O,延长AC,交GM于 BC..CF BE. 点P,易得△CAB四 ∠CFD=∠BFD △BOF≌△FL.G...AB 15.,∴.∠CFB=90 OF=3.AC=OB=LF=4. EF=FH.在R△CFH中，根据与股定理，得 .0A=(0L=3+1=7. CF +FH -CH..BF +EF =AE. ∠CAB=∠B)F=∠L. 思维拓展 90.,.四边形A(0儿P是正 方形，，，KL=3+7=10, 13.直角三角形如图1或图2摆放时，都可以 LM=1+7=11.∴.长方形K1.M」的面积为10× 用“面积法”来证明勾股定理.下面是小聪 11=110.故答案为110. 利用图1证明勾股定理的过程： 10.直角三角形的两边长为5和7，则第三边长 将两个全等的直角三角形按图1所示摆 为26麦v7再. 放，其中∠DAB=90°，求证：a+b=c2 【解析】若7为针边，根据勾股定理，得第三边长为 证明：连接DB,过点D作BC边上的高 /7一5=26若7为直角边，根据勾殿定理，得第 DF,则DF=EC=b-a. 三边长为⑤+7■/7可.故答策为26或、7不. 11.如图，在R1△ABC中，两 S+SMeab 直角边BC和AB的长 分别是3和4，以斜边 S四边形Wm=S△A