专题11 空间图形的表面积与体积（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

专题11 空间图形的表面积与体积 （1） 几何体的表面积 1．柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和. 2．把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积. 3．计算公式 圆柱的侧面积 圆柱的表面积 圆锥的侧面积 圆锥的表面积 圆台的侧面积 圆台的表面积 球体的表面积 （2） 几何体的体积 圆柱的体积 圆锥的体积 圆台的体积 球体的体积 正方体的体积 正方体的体积 （三）球的内切、外接 几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 题型一 几何体的面积 【典例1】（河南省郑州市2023届高三第二次质量预测文科数学试题）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2021·全国高考真题（文））已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________. 【典例3】（2023·全国·高一专题练习）如图，斜三棱柱中，底面是边长为1的正三角形，侧棱长为2，，则该斜三棱柱的侧面积是_________． 【总结提升】 几类空间几何体表面积的求法 (1)多面体：其表面积是各个面的面积之和． (2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和． (3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补． (4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系． 题型二 几何体的体积 【典例4】（2018·全国高考真题（文））在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（ ） A． B． C． D． 【典例5】（2023·高一单元测试）已知正三棱锥的侧面积为，高为，则它的体积为___________. 【典例6】（2023·全国·模拟预测）已知一个圆台内部的球与圆台的上、下底面以及每条母线均相切，设球与圆台的表面积分别为，，体积分别为，，若，则______． 【总结提升】 （1）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． （2）规则几何体：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法 （3）不规则几何体：若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解. 提醒：处理高线问题时，经常利用的方法就是“等积法”． 题型三 几何体的展开、折叠、截问题 【典例7】（2023·全国·高一专题练习）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（    ） A． B． C． D． 【典例8】（2023春·福建三明·高一三明一中校考阶段练习）如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的高为______；侧面积为______. 【典例9】（2023·辽宁辽阳·统考一模）将3个6cm×6cm的正方形都沿其中的一对邻边的中点剪开，每个正方形均分成两个部分，如图（1）所示，将这6个部分接入一个边长为的正六边形上，如图（2）所示.若该平面图沿着正六边形的边折起，围成一个七面体，则该七面体的体积为______. 【典例10】（2023春·河南郑州·高三安阳一中校联考阶段练习）已知正方体 的棱长为 3 ，以为球心，为半径的球被该正方体的表面所截，则所截得的曲线总长为_________ 【总结提升】 有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变． 研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题． 题型四 几何体的外接球 【典例11】（四川省乐山市2023届高三下学期第二次调查研究考试数学（理）试题）在菱形中，，，将绕对角线所在直线旋转至，使得，则三棱锥的外接球的