平面向量重难点专题03 平面向量的应用-2022-2023学年高一数学课后培优分级练（人教A版2019必修第二册）

平面向量重难点专题—平面向量的应用 课后培优练 【题型一】平面向量在物理上的应用 1.一条渔船以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，则这条渔船实际航行的速度大小为　 　． 2.如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，且与水平夹角均为45°，，则物体的重力大小为　 　． 3.在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且，与的夹角为θ．给出以下结论 ①越大越费力，越小越省力； ②的范围为； ③当时，； ④当时，． 其中正确结论的序号是　 　． 4.如图，已知河水自西向东流速为，设某人在静水中游泳的速度为，在流水中实际速度为． (1)若此人朝正南方向游去，且，求他实际前进方向与水流方向的夹角和的大小； (2)若此人实际前进方向与水流垂直，且，求他游泳的方向与水流方向的夹角和的大小． 5.如图，重为的匀质球，半径为，放在墙与均匀的木板之间，端锁定并能转动，端用水平绳索拉住，板长，与墙夹角为，如果不计木板的重量，则为何值时，绳子拉力最小？最小值是多少？ 【题型二】平面向量在平面几何上的应用 1.证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形. 2.已知平行四边形的对角线为，求证 (即对角线的平方和等于邻边平方和的倍). 3.用向量方法证明：三角形三条高线交于一点. 4.证明三角形三条中线交于一点. 【题型三】建系处理 1.如图，已知若 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2.如图，四边形是正方形，延长至使得．若动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，其中下列判断正确的是(　　) A．满足的点必为的中点 B．满足的点有且只有一个 C．满足的点最多有个 D．的最大值为 3.如图，正方形的边长为分别为的动点，且设则的最大值是　　． 4.如图，在平面四边形中点在线段上，且若则的值为　　． 5.已知直角梯形中，，，过点作，垂足为点，为的中点，用向量的方法证明： (1)；(2)，，三点共线． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（北京）股份有限公司7 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 平面向量重难点专题—平面向量的应用 课后培优练 【题型一】平面向量在物理上的应用 1.一条渔船以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，则这条渔船实际航行的速度大小为　 　． 答案 A 解析 如图所示，渔船实际航行的速度为； 大小为||=|| =2．故选 A． 2.如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，且与水平夹角均为45°，，则物体的重力大小为　 　． 答案 20 解析 如图，∵， ∴，∴物体的重力大小为20． 故答案为 20． 3.在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且，与的夹角为θ．给出以下结论 ①越大越费力，越小越省力； ②的范围为； ③当时，； ④当时，． 其中正确结论的序号是　 　． 答案 ①④ 解析 对于①，由为定值， 所以， 解得； 由题意知时，单调递减，所以单调递增， 即越大越费力，越小越省力；①正确． 对于②，由题意知，的取值范围是，所以②错误． 对于③，当时，，所以，③错误． 对于④，当时，，所以，④正确． 综上知，正确结论的序号是①④． 故答案为 ①④． 4.如图，已知河水自西向东流速为，设某人在静水中游泳的速度为，在流水中实际速度为． (1)若此人朝正南方向游去，且，求他实际前进方向与水流方向的夹角和的大小； (2)若此人实际前进方向与水流垂直，且，求他游泳的方向与水流方向的夹角和的大小． 答案 (1)他实际前进方向与水流方向的夹角为的大小为； (2)他游泳的方向与水流方向的夹角为的大小为． 解析 如图，设， 则由题意知，， 根据向量加法的平行四边形法则得四边形为平行四边形． (1)由此人朝正南方向游去得四边形为矩形，且，如下图所示， 则在直角中，， ，又，所以； (2)由题意知，且，如下图所示， 则在直角△OBC中，，， 又，所以， 则， 答 (1)他实际前进方向与水流方向的夹角为的大小为； (2)他游泳的方向与水流方向的夹角为的大小为． 5.如图，重为的匀质球，半径为，放在墙与均匀的木板之间，端锁定并能转动，端用水平绳索拉住，板长，与墙夹角为，如果不计木板的重量，则为何值时，绳子拉力最小？最小值是多少？ 答案 时，有最小值 解析 如图，设木板对球的支持力为，则， 设绳子的拉力为．又，