5.3.2函数的极值与最大（小）值（第三课时）-2022-2023学年高二数学同步课件(人教A版2019选择性必修第二册)

第五章 一元函数的导数及应用 5.3.2 函数的极值与最大（小）值 第 三课时 一 二 三 学习目标 能利用导数求某些函数的在给定闭区间上函数的最大值、最小值 体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系 区别函数的极值和最大(小)值，借助于求函数的最大(小)值的运算，提升数学运算和直观想象素养 求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下： ① 求函数f(x)在(a, b)内的极值； ② 求函数f(x)在区间端点处的函数值f(a), f(b)； ③ 将函数f(x)在各极值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 复习回顾 新知探究：利用导数解决与函数相关的问题 例7 给定. （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）画出函数的大致图象； （3）求出方程= ()的解的个数. 解：（1）函数的定义域为 所以， 在区间上单调递减，在区间上单调递增. 当时， 有极小值= x (－∞, －2) －2 (－2, +∞) f '(x) 0 f (x) 当、的变化情况如表所示: 令f '(x) =0,解得： 因为f '(x)=(x+1)'ex+(x+1)(ex)'=ex+(x+1)ex =(x+2)ex – + 单调递减 单调递增 典例解析 例7 给定. （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）画出函数的大致图象； （3）求出方程= ()的解的个数. （2）令=0，解得： 当时， 0; 当时， 0. 所以的图象经过特殊点A( ), B,C. 当时, 与一次函数相比, 指数函数 呈爆炸性增长, 从而 当时， , 根据以上信息，我们画出的大致图象如图所示: x y O 1 -1 -2 • • • 典例解析 例7 给定. （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）画出函数的大致图象； （3）求出方程= ()的解的个数. 解： x y O 1 -1 -2 • • • 由(1)及图可得，当时，有最小值 所以，方程= 的解得个数有如下结论； （1）求出函数f(x)的定义域； （2）求导数f '(x)及函数f '(x)的零点； （3）用零点将f(x) 定义域为若干个区间，列表给出f '(x)在各个区间上的正负，并得出f(x)单调性与极值； （4）确定f(x)图象经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势； （5）画出f(x)的大致图象. 通常可以按如下步骤画出函数f(x)的大致图象: 方法归纳 由例7可见，函数f(x)的图象直观地反映了函数f(x)的性质. 新知探究：导数在解决实际问题中的应用 问题 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 (1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？你想从数学上知道它的道理吗？ (2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 例8 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其 (单位：cm)中是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料制造商可获得0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径是6cm. (1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小? 我们利用导数工具来解决这个问题. 新知探究：导数在解决实际问题中的应用 例8 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其 (单位：cm)中是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料制造商可获得0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径是6cm. (1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小? 解： 当时，<0;当时，0. 因此，当半径>2时，0 ，单调递增，即半径越大，利润越高； 当半径2时，<0，单调递减，即半径越大，利润越低. 新知探究：导数在解决实际问题中的应用 例8 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其 (单位：cm)中是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料制造商可获得0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径是6cm. (1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小? （1）半径为6cm时，利润最大 （2）半径2cm时，利润最小，这时<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润时负值. 换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数f(r)的图象上观察，你有什么发现？ r y O 3 2 1 从图象上容易看出，当时，，即瓶子的半径是时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当时，利润才为正值. 证明： x y O 1 π 课本P97 巩固练习 解： 2.如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为a m2.为使所用材料最省，圆的直径应为