5.3.2函数的极值与最大（小）值（第二课时）-2022-2023学年高二数学同步课件(人教A版2019选择性必修第二册)

第五章 一元函数的导数及应用 5.3.2 函数的极值与最大（小）值 第 二课时 函数的最大（小）值（1） 一 二 三 学习目标 能利用导数求某些函数的在给定闭区间上函数的最大值、最小值 体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系 区别函数的极值和最大(小)值，借助于求函数的最大(小)值的运算，提升数学运算和直观想象素养 单元结构 函数的单调性 函数的极值 函数的最大（小）值 导数在研究函数中的应用 函数最大值和最小值是如何定义的？ 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M ; （2）存在 x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值. 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （2）对于任意的x∈I ，都有f(x)≥m ; （2）存在 x0∈I，使得f(x0) = m 那么，称m是函数y=f(x)的最小值 . 复习回顾 新课导入 我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质. 也就是说，如果x0是函数y=f(x)的极大(小)值点，那么在x= x0附近找不到比f(x0)更大(小)的值. 但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小. 如果x0是某个区间上函数y=f(x)的最大(小)值点，那么f(x0)不小(大)于函数y=f(x)在此区间上的所有函数值. 函数在什么条件下一定有最大、最小值？它们与函数极值关系如何？ 新知探究 问题1 下图是函数y=f(x), x∈[a, b]的图象，你能找出它的极小(大)值吗? 追问 你能进一步找出函数在区间[a, b]上的最小(大)值吗？ x y O a b x1 x2 x3 x4 x5 x6 极大值： f(x2), f(x4), f(x6) 极小值： f(x1), f(x3), f(x5) 最大值：f(a) 最小值：f(x3) 怎么找到的呢？ 新知探究 问题2 观察[a,b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a,b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？ x y O a b x y O a b x1 x2 x3 x4 x5 最大值：f(b); 最小值：f(a) 最大值：f(x3); 最小值：f(x4) 新知探究 问题3 以上函数既有最大值，又有最小值，是不是所有的函数都有最大（小）值吗？ 追问1 什么样的函数一定会有最大值和最小值呢？ 不是! O x y a b y=f(x) y=f(x) O x y a b O x y a b y=f(x) O x y a b y=f(x) 在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值. 在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值 新知探究 一般地，如果在闭区间[a, b]上函数y=f(x)的图象是一条连续曲线,它必有最大值和最小值. x y O a b x1 x2 x3 x4 x5 x6 追问2 闭区间上的连续函数的最值一定是它的某个极大（小）值吗？ 追问3 如何结合函数的极值来求函数的最大（小）值呢？ 新知探究 求最值的方法：只要把函数y=f (x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值和最小值. 追问4 函数最值与极值有什么关系？ 1.函数的最大值、最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的. 2.函数的极值可以有多个，但函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个. 3.极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有最值未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值. 典例分析 例6 解： x 0 (0, 2) 2 (2, 3) 3 f′(x) f(x) x y O 4 2 3 方法归纳 求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下： ① 求函数f(x)在(a, b)内的极值； ② 求函数f(x)在区间端点处的函数值f(a), f(b)； ③ 将函数f(x)在各极值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 巩固练习 课本P94 解： x 0 (0, ) (, 2) 2 f′(x) f(x) 巩固练习 课本P94 解： x －4 （－4，－3） －3 （－3，3） 3 （3，4） 4 f′(x) f(x) 巩固练习 课本P94 解： x － (－, 2) 2 (2, 3) 3 f′(x) f(x) 巩固练习 课本P94 解： 典例回首 回顾例4中的图，我们发