专题13 离散型随机变量的分布列及数字特征-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点题型精准复习（人教A版）

专题13 离散型随机变量的分布列及数字特征 1.随机变量的有关概念 随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，…表示． 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 2.离散型随机变量分布列的概念及性质 ①离散型随机变量的分布列的概念 设离散型随机变量X可能取的不同值为，，…，，X取每一个值 ()的概率，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列. X … … P … … 有时也用等式表示X的分布列． ②离散型随机变量的分布列的性质 （1）(i＝1，2，…，n)；（2）． 三、离散型随机变量的均值与方差 ①离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X … … P … … （1）称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． （2）称为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差． 方差的变形： ②均值与方差的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量， 则 考点一 离散随机变量的概念辨析 考点二 离散随机变量的分布列 1.求分布列 2.分布列的性质应用 考点三 离散随机变量的数学特征 1.求均值和方差 2.均值和方差的性质应用 考点四 决策问题 考点一 离散随机变量的概念辨析 例1．（2023·全国·高二专题练习）已知下列四个变量：①某高铁候车室中一天的旅客数量；②某次学术讲座中学员向主讲教授提问的次数；③某一天中长江的水位；④某次大型车展中销售汽车的数量．其中，所有离散型随机变量的序号为______． 【答案】①②④ 【分析】根据离散型随机变量的定义即可解答. 【详解】①②④中的随机变量可能的取值可以按照一定次序一一列出， 因此，它们都是离散型随机变量； ③中的可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出， 故其不是离散型随机变量. 故答案为：①②④. 例2．（2023·全国·高二专题练习）（多选）下列变量是随机变量的是（    ） A．在某次数学期中考试中，一个考场30名考生中做对选择题第12题的人数 B．一台机器在一段时间内出现故障的次数 C．某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数 D．方程的实根个数 【答案】ABC 【分析】根据随机变量的定义判断即可求解. 【详解】随机变量的定义为：作一次实验，其结果有多种可能；选项ABC都符合随机变量的定义，故ABC都正确； 方程的实根个数是2，是确定的，不是随机变量，故D错误. 故选：ABC. 例3．（2023·全国·高二专题练习）下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数ξ； ②一个沿直线y＝2x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η； ③某指挥台5分钟内接到的雷达电话次数X； ④某同学离开哈尔滨市第三中学的距离Y； 其中是离散型随机变量的为（    ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用离散型随机变量的定义分析各命题，再判断作答. 【详解】对于①，半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量； 对于②，沿直线y＝2x进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量； 对于③，5分钟内接到的雷达电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量； 对于④，某同学离开哈尔滨市第三中学的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量， 所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③. 故选：C 例4．（2023·江苏·高二专题练习）甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（    ） A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局 C．甲、乙平局二次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 【答案】D 【分析】列举出的所有可能的情况，即得. 【详解】因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分， 故表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次． 故选：D． 例5．（2022春·北京·高二期末）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为（    ） ①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数； ②一个沿直线进行随机运动的质点离坐标原点的距离； ③某同学射击3次，命中的次数； ④某电子元件的寿命； A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用离散型随机变量的定义分析各命题，再判断作答. 【详解】对于①，半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，故①是离散型随机变量； 对于②，沿直线进行随