专题06 二项式定理-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点预测及技巧归纳（人教A版2019）

专题06二项式定理 一、考点预测 基础知识 方法技巧 二、基础考点 考点一：二项式定理的正用、逆用 考点二：二项展开式通项的应用 考点三：利用二项展开式的通项求参数 考点四：与杨辉三角有关的问题 考点五：二项展开式的系数的和问题 考点六：二项式系数性质的应用 考点七：两个二项式积的问题 考点八：三项展开式问题 考点九：整除和余数问题 考点十：二项展开式中的系数最值问题 三、能力提升 提升一 提升二 提升三 提升四 四、考点检测 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【考点预测】 【基础知识】 一、二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，n∈N*. (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C(k＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数． (4)通项：(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk. 二、杨辉三角 (1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的二项式系数相等； (2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数相加，即C＝C＋C. 三、二项式系数的增减性与最大值 增减性与最大值：C＝＝C，即＝，所以当>1，即k<时，C随k的增加而增大；由对称性知，当k>时，C随k的增加而减小．当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值． 【方法技巧】 1.运用二项式定理的解题策略 (1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开． (2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数． 2.求二项展开式特定项的步骤 3.正确区分二项式系数与该项的系数 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关． 4.求两个二项展开式乘积的指定项的方法 首先分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点；然后找到构成展开式中特定项的组合部分；最后分别求解再相乘，求和即得． 5.三项展开式中的特定项(系数)问题的处理方法 (1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解． (2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式定理展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形． 6.二项式系数最大项的确定方法 (1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大； (2)如果n是奇数，则中间两项项与第的二项式系数相等并最大． 7.形如(ax＋by)n(a＞0，b＞0)展开式中系数最大项的求法，一般采用待定系数法：设展开式中的第项是系数最大项，其系数记为A，则由可求出r的值，从而求出展开式中系数最大的项． 8.二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 9.二项式定理的综合应用的两类常见问题 (1)近似计算问题：解决此类问题要注意题目结果精确到什么或保留几位有效数字，以便考虑最后一项的取值，一般要四舍五入；求数的n次幂的近似值时，把底数化为最靠近它的那个整数加一个小数的形式． (2)整除与求余问题，此类题目往往考虑用数学归纳法证明，但是步骤较为烦琐，而用二项式定理明显更简洁． 10.解决与杨辉三角有关的问题的一般思路 二、【基础考点】 【考点一】二项式定理的正用、逆用 【典例1】若实数a＝2－，则a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210等于(　　) A.32 B.－32 C.1 024 D.512 【解析】a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210 ＝(a－2)10， 当a＝2－时，(a－2)10＝32. 故选A. 【典例2】(多选)对于二项式(n∈N*)，下列判断正确的有(　　) A.存在n∈N*，展开式中有常数项 B.对任意n∈N*，展开式中没有常数项 C.对任意