专题07 条件概率与全概率公式-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点预测及技巧归纳（人教A版2019）

专题07条件概率与全概率公式 一、考点预测 基础知识 方法技巧 二、基础考点 考点一：利用定义求条件概率 考点二：缩小样本空间求条件概率 考点三：条件概率的性质及应用 考点四：全概率公式 考点五：多个事件的全概率问题 考点六：贝叶斯公式(*)(选学) 三、能力提升 提升一 提升二 提升三 提升四 四、考点检测 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【考点预测】 【基础知识】 一、条件概率的理解 条件概率：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 二、概率的乘法公式 概率的乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)． 三、互斥事件的条件概率 条件概率的性质 设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝1. (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． (3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)． 四、全概率公式 全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)． *五、贝叶斯公式 *贝叶斯公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝ ＝，i＝1,2，…，n. 【方法技巧】 1.条件概率计算的关注点 (1)原型：在题目条件中，若出现“在……发生的条件下……发生的概率”，一般可认为是条件概率． (2)方法： ①在原样本空间中，先计算P(AB)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝计算求得P(B|A)； ②若事件为古典概型，可利用公式P(B|A)＝，即在缩小后的样本空间中计算事件B发生的概率． 2.应用乘法公式求概率的关注点 (1)功能：是一种计算“积事件”概率的方法，即当不容易直接计算P(AB)时，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B)求解． (2)推广：设A，B，C为三个事件，且P(AB)＞0，则有 P(ABC)＝P(C|AB)P(AB) ＝P(C|AB)P(B|A)P(A). 3.当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互斥的较简单的事件之和，求出这些较简单事件的概率，再利用P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得所求事件的概率．但应注意这个公式在“B与C互斥”这一前提下才成立． 4.利用全概率公式求概率的关注点 (1)实质：为了求复杂事件的概率，往往可以把它分解成若干个互斥的简单事件之和，然后利用条件概率和乘法公式，求出这些简单事件的概率，最后利用概率可加性，得到最终结果． (2)应用：把事件B看作某一过程的结果，把A1，A2，…，An看作该过程的若干个原因，根据历史资料，每一原因发生的概率(即P)已知，而且每一原因对结果的影响程度(即P)已知，则可用全概率公式计算结果发生的概率(即P). 5.利用贝叶斯公式求概率的步骤 第一步：利用全概率公式计算P(A)，即P(A)＝(Bi)P(A|Bi)； 第二步：计算P(AB)，可利用P(AB)＝P(B)P(A|B)求解； 第三步：代入P(B|A)＝求解． 6.若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验具体结果未知，那么： (1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式； (2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率． 二、【基础考点】 【考点一】利用定义求条件概率 【典例1】盒内装有除型号和颜色外完全相同的16个球，其中6个是E型玻璃球，10个是F型玻璃球.E型玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；F型玻璃球中有3个是红色的，7个是蓝色的.现从中任取1个，已知取到的是蓝球，则该球是E型玻璃球的概率是________. 【解析】设事件A＝“取得蓝球”，B＝“取得蓝色E型玻璃球”. 由题设，P(A)＝＝， P(AB)＝＝， ∴P(B|A)＝＝＝. 【典例2】现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率. 【解析】设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B