第一章 1 专题1 等腰三角形中的常见辅助线-【数学一号】2022-2023学年八年级下册初二数学全能讲练一体化（北师大版）教用版

第一章三角形的证明 专题1等腰三角形中的常见辅助线（学生用节尾P16) 类型一 利用等腰三角形的“三线合一”作 △AED≌△ABD(SAS),,.ED=BD,∠AED= 辅助线 ∠B.∠B=2∠C..∠AED=2∠C.又 ∠AED为△CED的外角，∴.∠AED=∠C+ 1.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB ∠EDC,∴.∠C=∠EDC.EC=ED..EC= BD⊥CD,∠A=∠ABD.若BD=1,BC= BD...AC=AE+EC=AB+BD. 3,求AC的长 4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,AD= AB,CM⊥AD,交AD的延长线于点M.求 证：AM=号(AB+AC). 答因 解：如答图，延长BD交AC于点E,:CD平分 ∠ACB,BD⊥CD,∴·∠CBD=∠CED..△BCE 为等腰三角形.DE=BD=1,CE=BC=3. ∠A=∠ABD,△ABE为等腰三角形..EA EB=2..AC=AE+CE=2+3=5. 2.如图，在△ABC中，AC=2AB,AD平分 答图 证明：如答图，延长AM至点N,使DM=MN,连 ∠BAC,交BC于点D,E是AD上一点，且 接CN.:CM⊥AD,DM=MN,.CN=CD. EA=EC.求证：EB⊥AB. ∠CDN=∠DNC.:∠ADB=∠CDN,.∠DNC B =∠ADB.AD=AB,.∠B=∠ADB..∠B ∠DNC.,AD平分∠BAC,.∠BAD=∠CAD ∴.∠ADB=∠ACN..∠ANC=∠ACN.∴.AN= AC.AB+AC-AD+AN-AD+AM+MN- 答图 证明：如答图，过点E作EF⊥AC于点F,:EA AD+AM+DM-2AM.:.AM-(AB+AC). EC.AF-FC-AC.ACB.A 类型三作平行线构造等腰三角形 AB.AD平分∠BAC,.∠BAE=∠FAE.在 5.如图，已知等边三角形ABC的边长为10， AB=AF. 点P在AB上，点Q在BC的延长线上， △BAE和△FAE中， ∠BAE=∠FAE,. AP=CQ.连接PQ与AC相交于点D,过点 AE-AE. P作PE⊥AC于点E,求DE的长. △ABE2△AFE(SAS).∴·∠ABE=∠AFE 90.∴.EB⊥AB. 类型二 截长补短法构造等腰三角形 3.如图，在△ABC中，∠B=2∠C,AD是 △ABC的角平分线.求证：AC=AB+BD. 答图 解：如答图，过点P作PF∥BC,交AC于点F. △ABC是等边三角形.∴.∠ACB=∠B=∠A 60°.PF∥BC,∴.∠APF=∠B=60,∠，AFP 答图 ∠ACB=0“..△APF是等边三角移，.AP= 证明：如答图，在AC上截取AE=AB,连接DE. FP.AP CQ.FP CQ.PF /BC.. :AD平分∠BAC,∠EAD=∠BAD.在 ∠FPD=∠Q.在△FPD和△CQD中， AE=AB. ∠FDP=∠(DQ, △AED和△ABD中· ∠EAD=∠BAD,, ∠FPD=∠Q,.△FPD≌△CQD(AAS). AD-AD. FP-CQ. 419 八年级（下册）·BS FD-CD.AP-FP,PE⊥AF,∴AE-EF 类型四加倍折半法构造等腰三角形 ∴DE-EF+FD-号AF+号FC-号AC-号 7.如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC 10=5 至点D,延长BA至点E,使AE=BD,连接 6.已知△ABC为等边三角形，点D为AC上 EC,ED.求证：EC=ED. 的一个动点，点E为BC延长线上一点，且 BD=DE. (1)如图1，若点D在边AC上，试猜想线段 AD与CE之间的数量关系，并说明理由： (2)如图2，若点D在AC的延长线上，(1) D 中的结论是否仍成立？请说明理由 答国 证明：如答图，延长BD至点F,使DF=BC,连接 EF.:△ABC为等边三角形，.AB=BC,∠B= G0,:AE=BD,DF=BC,.BE=BF,∴△BEF 为等边三角形.∴.∠F=60,BE=FE.在△ECB D BE-FE. 图1 图2 和△EDF中，∠B=∠F=60',∴.△ECB☑ 解：(1)AD=CE.理由如 BC=FD, 下：如答图1，过点D作 △EDF(SAS)..EC=ED. DP∥BC.交AB于点P 8.如图，已知CE,CB分别是△ABC和△ADC ,△ABC是等边三角形 的中线，且AB=AC.求证：CD=2CE .∠A=∠ABC=∠ACB 答图1 =60,:DP∥BC,∴.∠APD=∠ABC=60, ∠ADP=∠A(B=60.∴△APD是等边三角形. .AP PD AD.DB DE..ZDBC ∠DEC.DP∥BC.∠PDB=∠DBC∴.∠PDB =∠DEC.又：∠BPD=∠A+∠ADP=120. 证明：如答图，延长 ∠DE=∠