专题9.1 旋转与几何综合（压轴题专项讲练）-2022-2023学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题9.1 旋转与几何综合 【典例1】如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD>2CE），直线BG与DE交于点H． （1）如图1，当点G在CD上时，请直接写出线段BG与DE的数量关系和位置关系； （2）将正方形CEFG绕点C旋转一周． ①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：； ②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长． 【思路点拨】 （1）证明△BCG≌△DCE可得结论； （2）①在线段BG上截取BK＝DH，连接CK．证明△BCK≌△DCH(SAS)，推出CK＝CH，∠BCK＝∠DCH，推出△KCH是等腰直角三角形，即可解决问题； ②分两种情形：当D，G，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD；和当D，H，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD，分别根据正方形的性质结合勾股定理求解即可解决问题． 【解题过程】 （1）解：BG＝DE，BG⊥DE，理由如下： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都为正方形， ∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE＝90°，CG＝CE， ∴△BCG≌△DCE(SAS)， ∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE． ∵∠CDE+∠DEC＝90°， ∴∠HBE+∠BEH＝90°， ∴∠BHD＝90°，即． 综上可知BG和DE的关系为BG＝DE且． 故答案为：BG＝DE且； （2）①证明：如图，在线段BG上截取BK＝DH，连接CK． ∵四边形ABCD和四边形CEFG都为正方形， ∴BC＝CD，∠BCD＝∠GCE＝90°，CG＝CE， ∴∠BCG＝∠DCE， ∴△BCG≌△DCE(SAS)， ∴∠CBK＝∠CDH， ∵BK＝DH，BC＝DC， ∴△BCK≌△DCH(SAS)， ∴CK＝CH，∠BCK＝∠DCH， ∴∠BCK+∠KCD＝∠DCH+∠KCD，即∠KCH＝∠BCD＝90°， ∴△KCH是等腰直角三角形， ∴， ∴； ②如图，当D，G，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD． 由（1）同样的方法可知，BH＝DE， ∵四边形CEFG为正方形 ∴CE＝CH＝1， ∴． ∵AB＝3， ∴， 设DH＝x，则， 在Rt△BDH中，，即， 解得：（舍） 故此时； 如图，当H，E重合时，∠DEC＝45°，连接BD． 设DH＝x， ∵BG＝DH， ∴， 在Rt△BDH中，，即 解得： （舍） 故此时； 综上所述，满足条件的DH的值为或． 1．（2022·河北唐山·八年级期末）如图1所示，将一个边长为2的正方形和一个长为2、宽为1的长方形拼在一起，构成一个大的长方形．现将小长方形绕点C顺时针旋转至，旋转角为． (1)当点恰好落在边上时，点到边的距离为____________，旋转角____________； (2)如图2，G为的中点，且，求证：； (3)小长方形绕点C顺时针旋转一周的过程中，与能否全等？若能，直接写出旋转角的值；若不能，说明理由． 2．（2022·山西吕梁·九年级期末）综合与实践：如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足，连接EF，求证：． 李伟同学是这样解决的： 将绕点A顺时针旋转90°得到，此时AB与AD重合，再证明，可得结论． (1)如图2，在四边形ABCD中，，，，且，，求BE的长； (2)类比（1）证明思想完成下列问题：在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，，若固定不动，绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），在旋转过程中，等式始终成立，请说明理由． 3．（2022·黑龙江省新华农场中学九年级阶段练习）如图① ，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D． (1)S△ABD = ．（直接写出结果） (2)如图②，将△ABD绕点D按顺时针方向旋转得到△A′B′D，设旋转角为α (α<90°)，在旋转过程中： 探究一：四边形APDQ的面积是否随旋转而变化？说明理由； 探究二：当α=________时，四边形APDQ是正方形． 4．（2022·吉林通化·九年级期末）如图，中，，，点、在边上，，将绕点顺时针旋转得． (1)求证：； (2)连接，求证：； (3)若，，则______，四边形的面积＝______． 5．（2022·贵州六盘水·九年级学业考试）【问题提出】如图1，在中，每个内角都小于120°，在内有一点P，请确定点P的位置，使最小． (1)【问题解决】如图2，把绕点C顺时针旋转60°得到，连接PD和AE，当点B，P，D，E四点共线时，的最小值即为线段BE的长，此时________度； (2)【问题拓展】如图3，在中，，，点P是内一点，若，，，求PB的长； (3)【实际应用】如图4，是A，B，C三座城市位置的平面示意图