5 图形的旋转中心对称与中心对称图形 -【期末·暑假】2024年八年级数学期末暑假提优集训（苏科版）

７１　 参 考 答 案 １　普查与抽样调查　统计表、统计图的选用 １．B ２．C ３．C ４．C ５．D ６．C ７．２０２０　２０１９　 ８．抽样调查 ９．(１)９７􀆰２° (２)１５人,图略 (３)９５０人　 １０．(１)２０ (２)１ １８° (３)９２．５万人 １１．(１)２００ ７２　 (２)图略 (３)１８０人 ２　频数和频率　频数分布表和频数分布直方图 １．A ２．A ３．D ４．２４ ０．４ ３６ ０．６ ５．７　６．(１)６０ (２)１８ ０．３ (３)４６ ３．３％ ７．(１)１６ (２)１９２００辆 　 ８．(１)０．０５ １４ ０．３５　(２)图略　(３)１３５０人 ９．(１)６５ (２)在横线上标注２５％,图略 (３)５０人 １０．(１)２００ (２)９０ ９４　(３)１４４０名 ３　确定事件与随机事件　可能性的大小 １．B ２．C ３．A ４．C ５．不可能事件 ６．A ７．C　 ８．A ９．不可能事件:(３);必然事件:(２);随机事件:(１)(４) (５) １０．略 １１．不可能事件:(２);必然事件:(３);随机事 件:(１)(４)(５);可能性从小到大排序:(２)(１)(４)(５)(３)　 １２．略 １３．C １４．D ４　频率与概率 １．B ２．B ３．D ４．１６ ５．C ６．C ７．２．４ ８． (１)１１０ １ ３ (２)小颖的说法是错误的,“５点朝上”的频率最大并不能 说明“５点朝上”这一事件发生的概率最大,只有当实验的次 数足够大时,事件发生的频率才会稳定在相应的概率附近;小 红的说法是错误的,事件发生具有随机性,故“６点朝上”的次 数不一定是１００次． ９．(１)１２÷(１－０．２５)×０．２５×４０＝ １６０(个)． (２)小亮的说法不正确．理由如下:３分球命中率为 ０．２５,是４０场比赛的平均水平,在其中一场比赛中命中率不 一定是０．２５． １０．(１)０．６８ ０􀆰７４ ０．６８ ０．６９ ０．７０５　 ０􀆰７０１ (２)０．７ (３)０．７ (４)２５２° １１．白球 ５　图形的旋转　中心对称与中心对称图形 １．B ２．D ３．C ４．B ５．C ６．２０ ７．４ ８．(１)△A′B′C′ 如图１所示．　(２)点D 的位置如图２所示． 图１ 　　 图２ ９．连 接 PP′．由 旋 转 可 知 △PAC≌ △P′AB,PA＝P′A, ∠PAC＝∠P′AB,∴∠P′AP＝∠P′AB＋∠BAP＝∠PAC＋ ∠BAP＝∠BAC＝６０°．∴ △PAP′是等边三角形,∴PP′＝ PA＝６．在 △PP′B 中,PP′＝６,PB＝８,P′B ＝PC＝１０, ∴PP′２＋PB２＝P′B２．∴∠P′PB＝９０°．∴∠APB＝１５０°．　 １０．B １１．(７,４) １２．(１)证 明:∵ ∠ECA ＝ ∠DCB, ∴∠ECA＋∠ACD＝∠DCB＋∠ACD,即∠DCE＝∠BCA．由 旋转得CA＝CE．在△BCA 和△DCE中, CB＝CD, ∠BCA＝∠DCE, AC＝EC, ì î í ïï ï ∴△BCA≌△DCE(SAS),∴AB＝ED．　(２)由(１)得∠CDE＝ ∠B＝７０°．∵CB＝CD,∴ ∠CDB＝ ∠B＝７０°,∴ ∠EDA＝ １８０°－∠BDE＝１８０°－７０°×２＝４０°,∴ ∠AFE＝ ∠EDA＋ ∠A＝４０°＋１０°＝５０°．　１３．(１)证明:由旋转知 AH＝AG, ∠HAG＝９０°．在等腰直角三角形ABC中,∠BAC＝９０°,AB＝ AC,∴∠BAH＝９０°－∠CAH＝∠CAG,∴△AHB≌△AGC．　 (２)①证明:在等腰直角三角形ABC中,AB＝AC,E、F 分别为 AB、AC的中点,∴AE＝AF,∴∠AEF＝∠AFE＝４５°．∵AH＝ AG,∠BAH ＝ ∠CAG,∴ △AEH ≌ △AFG,∴ ∠AFG ＝ ∠AEH＝４５°,∴∠HFG＝∠AFG＋∠AFE＝４５°＋４５°＝９０°． ②∵AB＝AC＝４,E、F分别为AB、AC的中点,∴AE＝AF＝ ２．由题意得∠AGH＝４５°,△AQG为等腰三角形分３种情况: (a)当 ∠QAG＝ ∠QGA＝４５°时,如图 １,则 ∠HAF＝９０°－ ４５°＝４５°,∴AH 平分∠EAF,∴H 是EF 的中点,∴EH＝ １ ２ AE ２＋AF２ ＝１２× ２ ２＋２２ ＝ ２; 图１ (b)当∠GAQ＝∠GQA＝(１８０°－４５°)÷２＝６７．５°时,如图２, 则∠EAH＝∠GAQ＝６７．５°,∴∠EHA＝１８０°－４５°－６７．５°＝ ６７．５°,∴∠EHA＝∠EAH,∴EH＝EA＝２; 图２ (c)当∠AQG＝∠AGQ＝４５°时,如图３,点 H 与点F 重合,不 符合题意,舍去． 图３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７２　 综上所述,当EH 的长度为２或 ２时,△AQG为等腰三角形． ６　平行四边形(１) １．C ２．C ３．B ４．２０ ５．证明:(１)∵O为对角线BD 的中 点,∴OD＝OB．∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴DF∥EB, ∴∠DFE＝∠BEF．在△DOF和△BOE中, ∠DFO＝∠BEO, ∠DOF＝∠BOE, DO＝BO, ì î í ïï ï ∴△DOF≌△BOE(AAS)．　(２)∵△DOF≌△BOE,∴DF＝ BE．∵DF∥EB,∴四边形DFBE是平行四边形,∴DE＝BF． ６．C ７．C ８．１２cm２　９．AB＝８cm,BC＝１２cm １０．１０ １１．连接BF,猜想BF＝DE．∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD＝BC,AD∥BC,∴ ∠DAE＝ ∠BCF．∵AE＝CF, ∴△ADE≌△CBF,∴BF＝DE． １２．２ ７　平行四边形(２) １．B ２．C ３．C ４．D ５．２ ６．(１)证明:∵BE、DG 分 别平 分 ∠ABC、∠ADC,∴ ∠CBE＝ １２ ∠CBA ,∠ADG＝ １ ２∠ADC．∵ 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形,∴ ∠CBA＝ ∠ADC,CB＝AD,CB∥AD．∴ ∠CBE＝ ∠ADG,∠BCE＝ ∠DAG．∴△BCE≌△DAG．∴BE＝DG,∠BEC＝∠DGA． ∴∠BEG＝∠DGE．∴BE∥DG．　(２)过点E 作EH⊥BC 于 点H．∵BE平分∠ABC,EH⊥BC,EF⊥AB,∴EH＝EF＝６． ∵▱ABCD 的周长为５６,∴AB＋BC＝２８,∴S△ABC ＝１２AB 􀅰 EF＋１２BC 􀅰EH＝ １２EF 􀅰(AB＋BC)＝ １２ ×６×２８＝８４． ７．∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴CD＝AB,AD＝CB, ∠DAB＝ ∠BCD．又 △ADE 和 △BCF 都 是 等 边 三 角 形, ∴DE＝BF,CF＝AE,∠DAE＝ ∠BCF＝６０°．∵ ∠DCF＝ ∠BCD－ ∠BCF,∠BAE＝ ∠DAB－ ∠DAE,∴ ∠DCF＝ ∠BAE,∴△DCF≌△BAE,∴DF＝BE．又DE＝BF,∴四边形 BEDF是平行四边形． ８．证明:连接BD 交AC于点O．∵四 边形DEBF为平行四边形,∴OD＝OB,OE＝OF．∵AF＝CE, ∴AF－EF＝CE－EF,即 AE＝CF,∴AE＋OE＝CF＋OF, 即OA＝OC．又∵OD＝OB,∴四边形ABCD 是平行四边形． ９．互相平分．理由如下:在 ▱ABCD 中,AB∥CD 且AB＝ CD．∵点E、F分别在AB、CD 上,∴DF∥BE．又∵DF＝BE, ∴四边形BEDF为平行四边形,∴DE∥BF．同理,CE∥AF． ∴四边形ENFM 为平行四边形,∴EF 与 MN 互相平分．　 １０．D ８　矩形、菱形 １．A ２．C ３．A ４．２０cm ２４cm２　５．４３ ６． (１)证明: ∵AF∥BC,∴∠AFE＝∠DCE．∵E 是 AD 的中点,∴AE＝ DE．在 △AEF 和 △DEC 中, ∠AFE＝∠DCE, ∠AEF＝∠DEC, AE＝DE, ì î í ïï ï ∴ △AEF≌ △DEC,∴AF＝CD．∵AF＝BD,∴BD＝CD． (２)四边形AFBD 是矩形．证 明:∵AB＝AC,D 是BC 的 中 点,∴AD⊥BC, ∴∠ADB＝９０°．∵AF＝BD,AF∥BC,∴四边形AFBD是平行 四边形．又∠ADB＝９０°,∴四边形AFBD 是矩形． ７．(１)连 接AC,证明△ABE≌△ACF,得AE＝AF．又∵∠EAF＝６０°, ∴△AEF为等边三角形． (２)２０° ８．(１)证明:∵四边形 ABCD 是矩形,∴AD＝BC,∠D＝∠B＝９０°．由折叠知AD＝ BC＝EC,∠D＝ ∠B＝ ∠E＝９０°．在 △DAF 和 △ECF 中, ∠DFA＝∠EFC, ∠D＝∠E, DA＝EC, ì î í ïï ï ∴△DAF≌△ECF(AAS)．　(２)∵△DAF≌ △ECF,∴∠FAD＝∠FCE＝４０°．∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠DAB＝９０°,∴∠EAB＝∠DAB－∠FAD＝９０°－４０°＝ ５０°．由折叠知∠CAE＝∠CAB,∴∠CAB＝２５°．　９．∵BE⊥ AD,BF⊥CD,∴∠BEA＝∠BFC＝９０°．又四边形 ABCD 是 平行四边形,∴∠BAE＝∠BCF,∴∠ABE＝∠CBF．∵BG＝ BH,∴ ∠BGH＝ ∠BHG,∴ ∠BGA＝ ∠BHC,∴ △BGA≌ △BHC,∴AB＝BC,∴ 四边形 ABCD 为菱形． １０．１０　 １１．２４ ９　正方形 １．B ２．D ３．１ ４．１５° ５．B ６．６５　７．(１)证 明: ∵∠AEF＝９０°,∴ ∠FEC＋ ∠AEB＝９０°．在 Rt△ABE 中, ∠AEB＋∠BAE＝９０°,∴∠BAE＝∠FEC． (２)证明:∵G、 E分别是正方形ABCD 的边AB、BC 的中点,∴AG＝GB＝ BE＝EC,∠AGE＝１８０°－４５°＝１３５°．∵CF 是∠DCH 的平分 线,∴ ∠ECF＝９０°＋４５°＝１３５°＝ ∠AGE．又 ∵ ∠GAE＝ ∠FEC,∴△AGE≌△ECF． (３)５２ ８． (１)不变．理由如下: 在 Rt△ABE和Rt△AHE中,AB＝AH,AE＝AE,∴Rt△ABE≌ Rt△AHE,∴BE＝HE,∠HAE＝ ∠BAE．同 理,DF＝HF, ∠DAF＝∠HAF．∴∠EAF＝１２∠BAD＝４５°．　 (２)不变．理 由如下:∵ △ECF 的 周 长 ＝EF＋CE＋CF＝BC＋DC, ∴△ECF的周长等于正方形边长的２倍． ９．(１)证明:连接 AD．∵△ABC是等腰直角三角形,D 是BC 的中点,∴AD⊥ BC,AD ＝BD ＝DC,∴ ∠DAQ ＝ ∠DBP．又 BP ＝AQ, ∴△BPD≌△AQD,∴PD＝QD,∠ADQ＝∠BDP．∵∠BDP＋ ∠ADP＝９０°,∴ ∠ADP＋ ∠ADQ＝９０°,即 ∠PDQ＝９０°, ∴△PDQ为等腰直角三角形． (２)当点P运动到AB的中点 时,四边形APDQ是正方形．理由略． １０．C １１．B １２．B １０　三角形的中位线 １．B ２．A ３．C ４．５ ５．１８° ６．(１)中位 中 (２)证 明:连接 DE、DF．∵D、E、F 分别是边BC、AB、AC 的中点, ∴DE∥AC,DF∥AB,∴四边形AEDF 是平行四边形,∴EF 与AD 互相平分． ７．连接AO．∵E、F 分别是AB、OB 的中 点,∴EF∥AO,EF＝ １２AO． 同理,DG∥AO,DG＝ １２AO． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １３　 　 　图形的旋转　中心对称与中心对称图形 １．下列现象属于旋转的是 (　　) A．把球踢进球门 B．拧开水龙头 C．小丽在玩跳格子 D．把电风扇移到客厅 ２．已知△ABC≌△DEF,下列４个图形中,△DEF不能由△ABC经过适当旋转得到的是 (　　) A B C D ３．下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是 (　　) A B C D ４．下列说法不正确的是 (　　) A．关于某一点成中心对称的两个图形全等 B．全等的图形一定关于某一点成中心对称 C．成中心对称的两个图形,将其中的一个图形绕对称中心旋转１８０°后与另一个图形重合 D．成中心对称的两个图形,连接对应点的线段一定经过对称中心,且被对称中心平分 ５．如图,在△ABC中,∠CAB＝６５°,将△ABC在平面内绕点A 逆时针旋转到△AB′C′的位 置,使CC′∥AB,则旋转角的度数为 (　　) A．３５° B．４０° C．５０° D．６５° (第５题) 　　　　　　 (第６题) ６．如图,将△OAB 绕着点O 逆时针连续旋转两次得到△OA″B″,每次旋转的角度都是５０°, 若∠B″OA＝１２０°,则∠AOB＝　　　　°． １４　 ７．如图所示的图案由三个叶片组成,绕点O 旋转１２０°后可以和自身重合．若每 个叶片的面积为 ４cm２,∠AOB＝１２０°,则图中阴影部分的面积之和为 　　　　cm２． ８．如图,在网格中有格点△ABC和点O． (１)画△A′B′C′,使它与△ABC关于点O 成中心对称． (２)请在网格中标出所有使以A、O、C′、D 为顶点的四边形是平行四边形的点D． ９．如图,P 是等边三角形ABC 内一点,且PA＝６,PB＝８,PC＝１０．将△PAC绕点A 逆时针 旋转后,得到△P′AB,求点P 与点P′之间的距离和∠APB 的度数． １０．雪花、风车􀆺􀆺展示着中心对称的美,利用中心对称,可以探索并证明图形的性质．在下 列图形中,是中心对称图形但不一定是轴对称图形的是 (　　) A．扇形 B．平行四边形 C．等边三角形 D．矩形 １１．如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(０,３),点 B 的坐标为 (４,０),连接AB．若将△ABO 绕点B 顺时针旋转９０°,得到△A′BO′, 则点A′的坐标为　　　　． １５　 　　１２．如图,在△ABC中,点D 在边AB 上,CB＝CD,将边CA 绕点C 旋转到CE 的位置,使得 ∠ECA＝∠DCB,连接DE 与AC 交于点F,且∠B＝７０°,∠A＝１０°． (１)求证:AB＝ED． (２)求∠AFE 的度数． １３．如图１,在等腰直角三角形ABC 中,∠BAC＝９０°．E、F 分别为AB、AC 的中点,H 为线 段EF 上一动点(不与点E、F 重合),将线段AH 绕点A 按逆时针方向旋转９０°得到 AG,连接GC、HB． (１)求证:△AHB≌△AGC． (２)如图２,连接GF、HG,HG交AF 于点Q． ①求证:在点 H 的运动过程中,总有∠HFG＝９０°; ②若AB＝AC＝４,当EH 的长度为多少时,△AQG为等腰三角形? 图１ 　　 图２