2023年中考数学最值专题——瓜豆原理求最值

瓜豆原理求最值 瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。瓜豆原理是主从联动轨迹问题。从点的会随着主动点的运动而运动。主动点叫做瓜，从动点叫做豆，瓜在直线上运动，豆的轨迹就是直线；瓜在圆周上运动，豆的轨迹就是圆。 符合瓜豆原理的条件 ①一定两动；②主线、从线夹角为定角a；③主线、从线比值为定值k； 类型： （1）主动点运动轨迹是圆，则从动点运动轨迹也是圆；且两个圆的半径的比也等于k； （2）主动点运动轨迹是直线，则从动点运动轨迹也是直线； 结论： （1）形状、主动点、从动点运动的轨迹形状相同， （2） 主动点、从动点运动轨迹的长度之比等于k； （3） 位置：从动点轨迹可以由主动点轨迹绕定点旋转定角a，再放大k倍即可。 涉及的知识和方法： 主从联动，其实质就是构造旋转、位似．对于一个图形进行旋转和位似变化，其实质就是对图形中的每一个点进行旋转和位似变化． 知识：①相似；②三角形的两边之和大于第三边；③点到直线之间的距离垂线段最短； ④点到圆上点共线有最值。 方法：第一步：找主动点的轨迹 ； 第二步：找从动点与主动点的关系； 第三步：找主动点的起点和终点；第四步：通过相似确定从动点的轨迹， 第五步：根据轨迹确定点线、点圆最值。 注：一般在解决此类问题时，通过主动点的起点和终点，找出从动点的起点和终点是解题的关键． 直线型瓜豆原理——动点轨迹为直线 （1） 一个定点，两个动点（主动点、从动点，两点互为主从） （2） 主线AB、从线AC的夹角固定 （3） 主线AB、动线AC长度之比为定值 结论：当满足以上结论时候，主点、从点的运动轨迹形状一致（相似） 直线型瓜豆原理 过定点作主动点运动直线的垂线，绕定点旋转垂线固定角度得定点，连接该点与从点得到从点的运动轨迹。 例：点A是直线L外一动点，点B在直线L上运动，以AB为边作等腰直角三角形ABC，∠ABC=90°， （1） 点C轨迹为直线； （2） 该直线与L的夹角为45°。 1.位似型 如图，点A为定点，点P在线段BC上，点Q为线段AP上一点，且为定值，当点P在线段BC上运动时，点Q的运动轨迹为一条线段(如图所示的虚线MN)． 结论： 2.旋转型 如图，点A为定点，∠BAC为定角，且为定值，当点B在直线l上运动时，点C的运动轨迹也为直线(如图所示的虚线l′)． 结论：当∠BAC＜90°时，直线l与直线l′的夹角等于∠A，即∠α＝∠A. 注：主从联动问题中，变换前后的图形形状不变，大小可能发生变化，解决此类问题的基本方法为：定定点，定转角，定比例，定轨迹. 圆型瓜豆原理——动点轨迹为圆 圆型瓜豆原理 将定点与主动点所在圆的圆心所得线段绕定点旋转定角a，再放大定比k倍，得从点轨迹圆心，连接从点与该点得从点轨迹圆半径。 1．位似型 如图，点A为定点，点P在⊙O上，点Q为线段AP上一点，且为定值，当点P在⊙O上运动时，点Q的运动轨迹为圆(如图所示的虚线⊙M)． 结论：△AQM∽△APO， 2．旋转型 如图，点A为定点，∠BAC为定值，且为定值，当点B在⊙O上运动时，点C的运动轨迹也为圆(如图所示的虚线⊙O′)． 结论：∠BAC＝∠OAO′，. 注：主从联动问题中，变换前后的图形形状不变，大小可能发生变化，解决此类问题的基本方法为：①定主从，②定轨迹（圆），③定圆心、半径，④定转角，定比例，（主动点、从动点与定点的关系等价于主轨迹、从轨迹与定点的关系） 例：如图, AB=2, ∠ACB=60° ,DC=BC, DCBG，则AD的最大值为多少？ 分析：本题中C，D是两个动点，A，B是定点，且∠ACB=60°,则可以想到定弦定角； 即点C的运动轨迹是AB为弦所对60°的圆弧，作出点C的轨迹. 深思: C、D两个点之间有怎样的特定关系呢? 点D随着C点的运动而运动,已知点C的运动轨迹是圆弧,那么点D的运动轨迹是什么呢？ 熟虑:点D可以看作由点C经过如下变化: 即C点绕B顺时针旋转45°,再放大2倍即为D点,那么将圆心0出作同样的变化,得到点E.(E是固定点)这个E点又会是什么样的点呢？ 明朗：△BOE也是一个等腰Rt△，图中出现了手拉手，必定会有两组相似三角形△OBC相似△CBD,连接DE,则△OBC相似△EBD,则BE=DE,所以点E是点D的运动轨迹所在的圆心。即点D在以E为圆心BE为半径的圆E上运动. 1、 直线型瓜豆原理 1、如图，在等边△ABC中，AB=12,BD=4,BE=2,点P从点E出发沿EA方向运动，连接PD,以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF,当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是 。 2、正方形ABCD中，AB=4,BE=1,F为AB上一动点，△EFG为等边三角形，求CG的最小值