第13讲 复数的几何意义-2022-2023学年高一数学考点讲解练（人教A版2019必修第二册）

第13讲 复数的几何意义 知识点1：复平面 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 ①轴——实轴 ②轴——虚轴 ③实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 知识点2：复数的几何意义 （1）复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 （2）复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 知识点3：复数的模 向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). 考点1：复数与复平面内的点的关系 【例1】在复平面内，描出表示下列复数的点： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）5；（6）． 【答案】答案见解析 【分析】 （1）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出； （2）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出； （3）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出； （4）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出； （5）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出； （6）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出； （1）对应点为， （2）对应点为（－3,2）， （3）对应点， （4）对应点 （5）对应点， （6）对应点， 【例2】当时，复数在复平面上对应的点位于（ ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】 ∵， ∴，， ∴复数在复平面上对应的点位于第四象限． 故选：D. 利用复数与点的对应解题的步骤 1首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标. 2根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系. 1．在复平面上，与点相对应的的复数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在复平面上，点相对应的的复数为. 故选：D. 2．在复平面内，若复数对应的点的坐标为，则实数（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】复数对应的点的坐标为 由题干得到 故选：D. 3．已知复数，则在复平面内所对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】解：复数在复平面对应的点的坐标为：，位于第四象限． 故选：D． 4．实数取什么值时，复平面内表示复数的点： （1）位于第三象限；（2）位于第四象限；（3）位于直线上． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】 依题意表示出复数在复平面内点的坐标， （1）位于第三象限即横、纵坐标均小于零，得到不等式组，解得即可； （2）位于第四象限即横坐标大于零，纵坐标小于零，得到不等式组，解得即可； （3）将坐标代入直线，求出未知数即可； 【详解】 解：因为是实数，所以，也是实数．复数在复平面内的点坐标为 （1）当实数满足即时，点位于第三象限． （2）当实数满足即时，点位于第四象限． （3）当实数满足，即，时， 点位于直线上． 考点2：复数与复平面内向量的对应 【例3】　复数在复平面上对应的向量的坐标为__________． 【答案】 【分析】 利用复数的几何意义求解. 【详解】 由复数的几何意义知：复数在复平面上对应的向量的坐标为， 故答案为： 【例4】　在复平面内，点A，B，C对应的复数分别为，，2，O为复平面的坐标原点. （1）求向量和对应的复数； （2）求平行四边形的顶点D对应的复数. 【答案】（1）对应的复数为，对应的复数为（2） 【分析】 （1）由复数写出对应点的坐标，从而得相应向量的坐标，由向量运算的坐标表示计算出向量，然后再由坐标得出对应的复数； （2）可利用与互相平分，结合中点坐标公式求出点坐标，然后可得对应复数． 【详解】 （1）由已知得所对应的复数分别为，，2， 则，，， 因此，， 故对应的复数为，对应的复数为. （2）由已知得点A，B，C的坐标分别为，则的中点为，由平行四边形的性质知的中点也，若设，则有， 解得，故.所以D对应的复数为. 复数与向量的对应和转化 对应：复数z与向量是一一对应关系． 转化：复数的有关问题转化为向量问题求解． 解决复数问题的主要思想方法有：(1)转化思想：复数问题实数化；(2)数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决；(3)整体化思想：利用复数的特征整体处理． 【变式训练】 1．复数对应的点关于原点的对称点为，则对应的向量为（ ） A．﹣3﹣4i