第12讲 数系的扩充和复数的概念-2022-2023学年高一数学考点讲解练（人教A版2019必修第二册）

第12讲 数系的扩充和复数的概念 1．复数的概念及代数表示 （1）复数 ① 定义：把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部． ② 表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式． （2）复数集 ① 定义：全体复数所成的集合叫做复数集． ② 表示：通常用大写字母C表示． 2．两个复数相等的充要条件 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di (a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d. 3．复数的分类 （1）复数(a＋bi，a，b∈R) （2）集合表示： 考点1：复数的概念 【例1】给出下列说法：①复数2＋3i的虚部是3i；②形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数；③若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数；④若两个复数能够比较大小，则它们都是实数．其中错误说法的个数是(　　) A．1　 B．2　　　　C．3　　　D．4 【答案】C 【解析】复数2＋3i的虚部是3，①错；形如a＋bi(b∈R)的数不一定是虚数，②错；只有当a∈R，a＋3≠0时，(a＋3)i是纯虚数，③错；若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，故④正确，所以有3个错误． 【例2】（1）给出下列几个命题： ①若z∈C，则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③2i的实部是0；④若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；⑤实数集的补集是虚数集．其中真命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 （2）已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________． 【答案】（1）C （2）±，5 【解析】（1）令z＝i∈C，则i2＝－1<0，故①不正确． ②中2i－1的虚部应是2，故②不正确． ④当a＝0时，ai＝0为实数，故④不正确， ∴只有③，⑤正确． （2）由题意知∴a＝±，b＝5. 判断复数概念方面的命题真假的注意点 1正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念，注意它们之间的区别与联系； 2注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同； 3注意通过列举反例来说明一些命题的真假. 1．下列说法中正确的是(　　) A．复数由实数、虚数、纯虚数构成 B．若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有x≠0 C．在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数 D．若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i 【答案】C C 【解析】选项A错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数；选项B错，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有y≠0，但可以x＝0；选项C正确，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是纯虚数，必有x＝0，y≠0，因此只要x≠0，复数z一定不是纯虚数；选项D错，当a，b∈R时，a＋i与b＋i都是虚数，不能比较大小． 2．已知，若（为虚数单位），则（ ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】解：因为， 所以，解得. 故选：B. 3．若复数（是虚数单位），则复数的虚部是（ ） A．1 B．-2 C． D． 【答案】B 【详解】的虚部是. 故选：B 4．请写出下列复数的实部和虚部． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）0． 【答案】 （1）实部为2，虚部为3；（2）实部为，虚部为；（3）实部为，虚部为1； （4）实部为，虚部为0；（5）实部为0，虚部为；（6）实部为0，虚部为0. 【解析】直接根据复数实部虚部的定义得到答案. （1）的实部为2，虚部为3. （2）的实部为，虚部为. （3）的实部为，虚部为1. （4）的实部为，虚部为0. （5）的实部为0，虚部为. （6）0实部为0，虚部为0. 考点2：复数的分类 【例3】若复数是实数，则实数的值为（ ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，解得. 故选：C 【例4】已知为虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A．1或2 B．2 C．1或2 D．1 【答案】B 【解析】由题设，，解得. 故答案为：B 【例5】复数的知识结构图如图所示，其中四个方格中的内容分别为（ ） A．实数.纯虚数､无理数､有理数 B．实数､虚数､负实数､正实数 C．实数､虚数､无理数､有理数 D．实数､虚数､有理数､无理数