第19讲 直角三角形-备战2023年中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测（全国通用）

中考数学一轮复习资料(全国通用版) 中考数学一轮复习资料五合一 《核心考点＋重点题型＋高分秘籍＋题组特训＋过关检测》 (全国通用版) 第19讲 直角三角形 核心考点1：直角三角形的概念与性质 1.定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 2.性质： （1）边关系：勾股定理： （2）角关系：直角三角形两锐角互余： （3）边角关系：三角函数 （4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； （5）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 核心考点2：直角三角形的判定 判定方法： 方法一：证明两锐角互余； 方法二：三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 方法三：勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形． 直角三角形是平面几何中最重要的一个几何图形，因为解决几何问题，尤其是计算线段长度问题，几乎每一道题的解决都离不开直角三角形。所以直角三角形是平面几何的一个核心，一定要重视！ 1——利用直角三角形性质求解 1．在中，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余即可求出结果． 【详解】解：在中，，， ， ， 故选：D． 【反思】本题考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键． 2．如图，在中，于点D，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据含的直角三角形性质得到，再根据等腰三角形三线合一的性质得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【反思】此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，含的直角三角形性质，熟练掌握各性质是解题的关键． 3．如图，在中，分别为的中点，点在上，且，若，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可． 【详解】解：、分别为、的中点，， ， ， ， 为的中点，， ， ， 故选：A． 【反思】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 2——利用勾股定理解决折叠问题 4．如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．10 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】先证明，得到，设，则，根据勾股定理，求出x，然后利用三角形的面积公式即可得到答案． 【详解】解：由折叠和矩形的性质可知，， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得： ， 解得：， ∴； 故选：A． 【反思】本题考查了矩形的折叠问题，矩形的性质和折叠的性质，勾股定理，以及间接法求三角形的面积，解题的关键是利用勾股定理正确求出的长度． 5．如图，在矩形中，，，点为的中点，将沿折叠，使点落在矩形内点处，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，过作于，根据折叠可知是等腰三角形，可证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过作于， ∵将沿折叠，使点落在矩形内点处，点为的中点， ∴， ∴是等腰三角形， ∴是中点，平分，且平分， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据题意，矩形中，，，点为的中点，即， ∴在中，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【反思】本题中主要考查矩形，直角三角形，相似三角形的综合，理解矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 3——弦图的相关问题 6．在认识了勾股定理的赵爽弦图后，一位同学尝试将个全等的小正方形嵌入长方形内部，其中点，，，分别在长方形的边，，和上，若，，则小正方形的边长为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据赵爽弦图，将小正方形分成4个全等的直角三角形，和一个最小的正方形，设直角三角形的短直角边长为，长直角边为，则正方形的水平宽度与垂直高度为，根据平移的性质，分别表示出，建立二元一次方程组，解方程组，进而勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，根据赵爽弦图，将小正方形分成4个全等的直角三角形，和一个最小的正方形， 设直角三角形的短直角边长为，长直角边为，则正方形的水平宽度与垂直高度为， 依题意， 解得： ∴小正方形的边长为：， 故选：A． 【反思】本题考查了勾股定理，掌握弦图的计算是解题的关键． 7．由四个正方形相框拼成的照片墙如图1所示，图2是其平面几何图，其中正方形，正方形，正方形的面积分别为4分米2，4分米2，16分米2，则正方形的面积为（    ） A．5分米2 B．6分米2 C．6.25分米2 D．8分米2 【答案】B 【分析】通过添加辅