专题06 解三角形范围与最值问题-2022-2023学年高一数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题06 解三角形范围与最值问题 【考点预测】 1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧： （1）利用基本不等式求范围或最值； （2）利用三角函数求范围或最值； （3）利用三角形中的不等关系求范围或最值； （4）根据三角形解的个数求范围或最值； （5）利用二次函数求范围或最值． 要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大． 2、解三角形中的范围与最值问题常见题型： （1）求角的最值； （2）求边和周长的最值及范围； （3）求面积的最值和范围． 【典型例题】 例1．（2023·全国·高一专题练习）在锐角中，角，，所对应的边分别为，，，若，则_________；若，则的最小值_________. 【答案】     【解析】因为，故， 而为三角形内角，故. 若，则， 故， 因为为锐角三角形内角，故， 所以， 而 ， 因为为锐角三角形内角， 故， 故，当且仅当时等号成立， 而此时为等腰直角三角形，与题设矛盾，故， 由基本不等式可得，当且仅当等号成立， 故的最小值为8， 故答案为：. 例2．（2023·全国·高一专题练习）在△中，角所对的边分别为，已知，.则的值为__________；若，则△周长的最大值为__________. 【答案】     ；     . 【解析】因为，，故，则， 即，也即，又，则； 若，由余弦定理可得，则， 即，即，解得， 即的最大值为，当且仅当时取得等号，故三角形周长的最大值为. 故答案为：；. 例3．（2023春·全国·高一专题练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若，且△ABC的面积，求△ABC周长的取值范围． 【解析】（1）因为， 所以 由正弦定理，得， 即， 所以， 因为B∈（0，），所以． （2）由（1）知， 由题意得， 故， 即， 由余弦定理可得， 故， 所以， 故， 即△ ABC周长的取值范围为（4，）． 例4．（2023春·全国·高一专题练习）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，的面积． (1)求A； (2)求周长的取值范围． 【解析】（1）由题意得： ， 由正弦定理得：， 根据余弦定理可知，又 所以，得， 因为， 所以； （2）法一：， 因为，即， 即，解得：，当时等号成立， 又， 所以， 所以， 综上，周长的取值范围． 方法二：=由正弦定理． ∴又． ∴ ∵，∴ ∴， ∴， ∴． 综上，周长的取值范围． 例5．（2023春·江苏南通·高一统考阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角C； (2)求的取值范围． 【解析】（1）因为， 所以， ， 因为， 所以， 所以， 上式整理得，即， 所以， 所以. 因为，所以， 因为， 所以，即，解得. （2）因为 ， 所以令， 因为，所以 所以，则. 则， 所以， 令， 因为的对称轴为，且开口向上， 所以在区间上单调递增， 所以的取值范围为， 所以的取值范围为. 例6．（2023春·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 【解析】（1），由倍角公式得， 由余弦定理，，化简得， 则，由，得. （2）由正弦定理得︰ ， ∴ ， ，， ， 由， ，∴， 即（当且仅当时，等号成立）， 从而周长的取值范围是 例7．（2023春·宁夏·高一六盘山高级中学校考阶段练习）已知向量，且函数． (1)求函数的解析式，并化成的形式． (2)求函数的单调增区间． (3)若中，分别为角对的边，，求的取值范围． 【解析】（1）因为向量，且函数 所以 （2）令，解得， 所以，函数的单调增区间为． （3）因为， 所以，即， 因为，所以， 因为，所以，因为，所以， 所以,所以， 所以； 所以，的取值范围为. 例8．（2023春·浙江·高一校联考阶段练习）在下列3个条件中任选一个，补充到下面问题，并给出问题的解答． ①；②；③； 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，D为边上的一点，______． (1)求角C； (2)若为角平分线，且，求最小值． 【解析】（1）选①，因为， 所以，则有 ，∵，∴，即. 选②：因为，则， 所以， 则有 ，∵ ∴，即 选③： ，∵，∴ （2）由余弦定理得：， 由角平分线定理得：，得 则， 当且仅当时，等号成立. 例9．（2023春·全国·高一专题练习）的内角