专题05 解三角形图形类问题（中线问题、角平分线问题）-2022-2023学年高一数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题05 解三角形图形类问题（中线问题、角平分线问题） 【考点预测】 解决三角形图形类问题的方法： 方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 【典例例题】 例1．（2023春·江苏无锡·高一江苏省太湖高级中学校考阶段练习）在非直角中，设角，，的对边分别为，，，若，是角的内角平分线，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由已知， 根据正弦定理得， 则， 为非直角三角形，，， 又， ， 即， ，， ，， ， 故选：D. 例2．（2023·全国·高一专题练习）如图，中，角的平分线交边于点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中，根据正弦定理得， 由， 所以， 所以， 所以，则， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以． 故选：D． 例3．（2023春·河北保定·高一保定一中校考阶段练习）在中，角所对的边分别是，设的面积为.已知. (1)求角的值； (2)若，点在边上，为的平分线，的面积为，求边长的值. 【解析】（1）因为， 即， 所以， 所以， 又，所以； （2）因为为的平分线，所以， 又，所以， 由，得， 解得或， 所以. 例4．（2023春·浙江湖州·高一湖州中学校考阶段练习）在中，D为边上一点，且，． (1)若为平分线，且，求边的值； (2)若D为边中点，且，求的值． 【解析】（1）解法1：（1）因为为平分线，所以， 令，则， 又， 则由余弦定理得：，解得， 故边． 解法2：∵为角A平分线，∴记为角． 则，， 可得：． 设，则，． 在中，． 在中， 解得：，则. 解法3：∵为角A平分线，可推得：． 又，取中点H，则． 在中，，， 则，，∴． 在中，， 解得：． ∴． （2）解法1： 分别过点B、C作的垂线，垂足分别为E、F，则． 在中，， 则，，因此． 在中，，所以． 所以 ． 解法2： 记，，则 由D为边中点可得的面积与相等， 进一步可得：． 又由已知，可得：，， ∴，∴， ∴， ∴． 例5．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，且为边上的中线，为的角平分线． (1)求及线段的长； (2)求的面积． 【解析】（1）由题意在中，，∴， ∴，而，，∴， 由余弦定理得（舍去），即. （2）在中，，，， ∴， ∵AE平分∠BAC，， 由正弦定理得：， 其中， ∴，则,, ∵AD为BC边的中线，∴， ∴. 例6．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四边形中， (1)求角的值； (2)若，，求四边形的面积 【解析】（1） ， 因为，得， 或， 解得或，因为，得， （2）在中，， 在中，， ， ，，得， ，所以四边形的面积为 例7．（2023·全国·高一专题练习）如图，在梯形中，，． (1)若，求周长的最大值； (2)若，，求的值． 【解析】（1）在中， ， 因此，当且仅当时取等号． 故周长的最大值是． （2）设，则，． 在中，， 在中，． 两式相除得，，， 因为， ， ，故． 例8．（2023·全国·高一专题练习）如图，四边形中，，． (1)求； (2)若，求． 【解析】（1）中，设，则，解得 ，； （2）设，则 设，， 中， 中， ，，可得，化简得，即 又，，即 ，解得 例9．（2023·全国·高一专题练习）如图，在已知圆周上有四点、、、，，，. (1)求的长以及四边形的面积； (2)设，，求的值. 【解析】（1）由余弦定理可得， 整理可得，因为，解得. 由圆内接四边形的性质可知， 所以，， 由余弦定理可得， 整理可得，，解得， 因为， 所以， . （2）由余弦定理可得， ，则为锐角，为钝角， 所以，，， 则，， 因此，. 【过关测试】 一、单选题 1．（2023·吉林·高一吉林一中校考阶段练习）大型城雕“商”字坐落在商丘市睢阳区神火大道与南京路交汇处，“商”字城雕有着厚重悠久的历史和文化，它时刻撬动着人们认识商丘、走进商丘的欲望.吴斌同学在今年国庆期间到商丘去旅游，经过“商”字城雕时，他想利用解三角形的知识测量一下该雕塑的高度（即图中线段的长度）.他在该雕塑塔的正东处沿着南偏西的方向前进若干米后达到处（、