专题04 活用正余弦定理玩转三角形-2022-2023学年高一数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题04 活用正余弦定理玩转三角形 【考点预测】 1、正弦定理 （其中为外接圆的半径）． 常用变形： （1）； （2）； （3）； （4），，． 2、余弦定理 ，，， ，， 3、三角形中的常见结论 （1）． （2） 在三角形中大边对大角， 大角对大边：． （3）任意两边之和大于第三边， 任意两边之差小于第三边． （4）的面积公式 ①（ 表示边上的高）； ②； ③（为内切圆半径）； ④，其中． 4、用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 5、实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角（如图①）． （2）方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． （3）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）． （4）坡度＝，即坡角的正切值． 【典型例题】 例1．（2023春·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列命题中，真命题的个数是（    ） （1）若，则是等腰三角形； （2）若，则是直角三角形； （3）若，则是钝角三角形； （4）若，则是等边三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】中，，由正弦定理有： ，因为中， 所以，即，即， 所以或，故（1）错误； 中，因为，所以， 所以或，故（2）错误； 中，，当时， ，，，显然不满足； 当中有1为负，2个为正，不妨设， 则，，，所以是钝角三角形；故（3）正确； 中，，所以， 所以 因为， 所以，所以， 则是等边三角形，故（4）正确；故A，C，D错误. 故选：B. 例2．（2023春·天津滨海新·高一大港一中校考阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求a和的值； (2)求的值． 【解析】（1）由余弦定理知：，则， 由且A为三角形内角，则，又， 所以. （2）由（1）知：，故，则为锐角，又， 所以， 由. 例3．（2023春·福建南平·高一统考阶段练习）某轮船以V海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60度，轮船从A处向北航行30分钟后到达B处，测得油井P在南偏东15度，且海里．轮船以相同的速度改为向东北方向再航行60分钟后到达C点． (1)求轮船的速度V； (2)求P，C两点的距离． 【解析】（1）由题可知，在中，，， 所以， 又，由正弦定理有：， 即， 解得，所以， 故轮船的速度是海里/小时． （2）由（1）有，，由题可知，， 所以在中，由余弦定理有： ， 所以 所以. 例4．（2023春·天津东丽·高一天津市第一百中学校考阶段练习）在非等腰中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，，. (1)求的值； (2)求b的值； (3)求的值. 【解析】（1）在中，由正弦定理，，， 可得， 因为，所以，即， 解得． （2）在中，由余弦定理， 得，解得或． 由已知互不相等，所以 ． （3）因为，所以， 所以，， 所以 例5．（2023春·山东青岛·高一山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）已知，设函数． (1)当时，分别求函数取得最大值和最小值时的值； (2)设的内角的对应边分别是且，，求的值． 【解析】（1）由题知：， ，则，故， ∴当，即，得时取得最大值0， 当，即，得时取得最小值． （2）由，即，又，则． 法一：由余弦定理A得：，解得：或． 法二：由正弦定理有，则或， 当时，，由勾股定理有； 当时，，则； 综上所或． 例6．（2023春·河南·高一校联考阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为直角边的三个等腰直角三角形的面积依次为，且． (1)求C； (2)若，，求的周长． 【解析】（1），， 化简得，即， 根据余弦定理得， ，. （2）由（1），则， 由正弦定理得，即， 即，解得，， 则的周长为. 例7．（2023春·江苏常州·高一校考阶段练习）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，． (1)求角B的大小； (2)若，，求的面积． 【解析】（1）因为，所以， 因为，所以， 所以，得，即， 因为，所以， 所以，所以； （2）由余弦定理得， 即，解得， 所以． 例8．（2023春·河北石家庄·高一校联考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，求的大小． 【解析】（1）因为，由正弦定理得， 整理得， 即 所以， 又因为，所以， 所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以． （2）由且， 由余弦定理，可得，即， 解得或（舍）， 所以． 例9