专题07 复数的综合运用-2022-2023学年高一数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题07 复数的综合运用 【考点预测】 一、基本概念 （1）叫虚数单位，满足 ，当时，． （2）形如的数叫复数，记作． ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，． 二、基本性质 1、复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 2、复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 【典型例题】 例1．（2023·江苏·高一专题练习）已知，关于z的方程有四个复数根．若这四个复数根在复平面内对应的点是一个正方形的四个顶点，则实数m的值为________． 【答案】 【解析】设根为的根为， 由题意，即且． ①当时，均为实数，则四个实数根均在实轴上，矛盾； ②当时，为实数且为虚数，且， 所以； 此时，故或， 且或， 这四个点为以为中心，且对角线的方程分别为，，对角线的长度为的正方形的顶点. ③当时，均为虚数， 因为为实数，故为共轭复数且，故的实部为， 同理的实部为，，即四个对应点均在直线，这与题设矛盾． 综上：． 故答案为：. 例2．（2023·江苏·高一专题练习）复数与在复平面上对应的向量分别为与，已知，，且，则复数______. 【答案】或 【解析】依题意，，设， 由得：，由得：， 联立解得或，即或， 所以或. 故答案为：或 例3．（2023·高一单元测试）已知，且，为虚数单位，则的最大值是__． 【答案】8 【解析】因为且， 所以，根据复数模的几何意义，表示以为圆心，3为半径的圆， 所以，表示圆上的点和点的距离， 因为圆心到点的距离为， ， 故答案为： 例4．（2023·全国·高一专题练习）已知顶点的直角坐标分别为，，，若虚数是实系数一元二次方程的根，且是钝角，则实数b的取值范围是______． 【答案】 【解析】由已知，虚数也是实系数一元二次方程的根， 所以，解得，， 则、的坐标为，， 所以，，因是钝角，故，解得， 又当，共线时有，即． 所以的取值范围是． 故答案为： 例5．（2023·江苏·高一专题练习）以下4个式子：①；②；③；④，正确的是______（写出正确编号）． 【答案】①③④ 【解析】设，，， 所以， ，所以，故①正确； 因为，当时，所以， 当时，不成立，故②错误； 设，，，不同时为0， ，所以， ，所以，故③正确； ， 所以， ， 所以，故④正确. 故答案为：①③④ 例6．（2023·全国·高一专题练习）将复数对应的向量绕原点逆时针方向旋转后，所得向量对应的复数为，则复数______． 【答案】 【解析】由题意，复数对应的向量绕原点顺时针方向旋转后，所得向量对应的复数为 则，则 故答案为： 例7．（2023春·全国·高一专题练习）满足的复数为______． 【答案】 【解析】设 因为,所以 可得, 可得,即得 计算可得. 所以 故答案为: 例8．（2023春·全国·高一专题练习）已知复数满足，且为实数，则______． 【答案】或或． 【解析】设 化简得 解得或 将代入可得， （1）当时，即则有，此时 （2）当时，则，故有则有或 综上所述故或或． 故答案为： 或或． 例9．（2023·全国·高一专题练习）若是虚数单位，复数满足，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】因为，所以设， 故 ，其中， 因为，所以. 故答案为：. 例10．（2023·高一课时练习）若复数和复数满足，则_____． 【答案】 【解析】设， 且， 则， 又，所以， 也即，则， 因为， 所以 故答案为：. 例11．（2023·全国·高一专题练习）已知(为虚数单位)．设集合，则集合中的元素在复平面上对应点所形成图形的面积为______． 【答案】 【解析】因为， 于是不妨设中的最小数为， 否则同时减去最小数，对应的不变， 此外，若因此考虑对应的点集， 然后逆时针旋转将三部分求并集即得如图， 由于的轨迹为线段,其中， 然后将线段往右平移， 划过的区域即表示复数对应的点集，为平行四边形，如图所示， 将该区域旋转2次即得，其面积为. 故答案为: . 例12．（2023·全国·高一专题练习）已知复数满足．若是实系数一元二次方程的一个根，则______． 【答案】 【解析】设，因为， 所以，且复数在第一象限， 又复数满足，