专题07 几何体侧面展开与最短距离-【巅峰课堂】2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第二册）

专题7 几何体侧面展开与最短距离 目录 【题型一】棱柱侧面展开 1 【题型二】 棱锥展开 3 【题型三】棱台展开 4 【题型四】圆柱侧面展开 5 【题型五】圆锥侧面展开 7 【题型六】圆台侧面展开 8 【题型七】最短距离1：圆柱侧面型 8 【题型八】最短距离2：圆锥侧面型 10 【题型九】最短距离3：圆台侧面型 11 【题型十】最短距离4：棱锥型 12 【题型十一】最短距离5：棱柱型 13 【题型十二】 最短距离6：内部按面展开型（难点） 13 培优第一阶——基础过关练 15 培优第二阶——能力提升练 17 培优第三阶——培优拔尖练 18 【题型一】棱柱侧面展开 【典例分析】 已知某多面体的平面展开图如图所示，其中是三棱柱的有________个． 【提分秘籍】 基本规律 棱柱展开，依据棱柱的侧面数量，会有不同方向的展开可能，要注意适当的讨论 【变式训练】 1.如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是（    ） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4） 2.如图所示是一个正方体，它的展开图可能是下面四个展开图中的（       ） A． B． C． D． 3.如图是一个正方体的平面展开图，将其复原为正方体后，互相重合的点是（    ） A．A与B B．D与E C．B与D D．C与F 【题型二】 棱锥展开 【典例分析】 已知正三棱锥纸模，的边长为，侧棱长为，沿，，将三棱锥剪开得到一个多边形，若小花想用一张圆形纸裁剪一个相同的多边形，并折叠成正三棱锥形礼盒，则圆形纸的半径至少为（       ） A．3 B．4 C．5 D．6 【提分秘籍】 基本规律 棱锥展开，是以此有公共邻边的共顶点三角形，注意运用正余弦定理求出定角的大小，并与半圆作比较， 【变式训练】 1.下图为一个正四面体的侧面展开图，为的中点，则在原正四面体中，直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2.由等边三角形组成的网格如图所示，多边形是某几何体的表面展开图，对于该几何体（顶点的字母用展开图相应字母表示，对于重合的两点，取字母表中靠前的字母表示），下列结论中正确的是                       A．平面 B．平面平面 C．平面平面 D． 3.现有边长为3，4，5的两个三角形纸板和边长为4，5，的两个三角形纸板，如图，用这四个纸板围成一个四面体，则这个四面体的体积是______. 【题型三】棱台展开 【典例分析】 下列几何体的侧面展开图如图所示，其中是棱台的为（    ） A． B． C． D． 【提分秘籍】 基本规律 棱台特别是非正棱台的展开较复杂，也是展开题型的难点之一，可以借用【典例分析】学习不同棱台的展开。 【变式训练】 1.一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字和“你”字相对的分别是（    ） A．前，程 B．你，前 C．似，棉 D．程，锦 2.在一张硬卡纸上，将图中给出的图形放大，然后按实线剪纸，再按虚线折痕折起并黏合，说出得到的几何体的名称． 3.如图是三个空间图形的平面展开图，请问各是什么空间图形？ 【题型四】圆柱侧面展开 【典例分析】 如图是一个底面半径为1的圆柱被平面截开所得的几何体，截面与底面所成的角为，过圆柱的轴的平面截该几何体所得的四边形为矩形，若沿将其侧面剪开，其侧面展开图形状大致为（       ） A． B． C． D． 【提分秘籍】 基本规律 圆柱展开体现了“化曲为值”的数学思想和转化技巧。 【变式训练】 1.北方的冬天户外冰天雪地，若水管裸露在外，则管内的水就会结冰从而冻裂水管，给用户生活带来不便．每年冬天来临前，工作人员就会给裸露在外的水管“保暖”：在水管外面包裹保温带，用一条保温带盘旋而上一次包裹到位．某工作人员采用四层包裹法（除水管两端外包裹水管的保温带都是四层）：如图1所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线，相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一．设水管的直径与保温带的宽度都为4cm．在图2水管的侧面展开图中，此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是（    ）（保温带厚度忽略不计） A． B． C． D． 2.圆柱体被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是（    ） A． B． C． D． 3.用长、宽分别是与的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，试求圆柱底面的半径. 【题型五】圆锥侧面展开 【典例分析】 若一个圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线长与其底面圆的直径应满足的等量关系为（    ） A． B． C． D． 【提分秘籍】 基本规律 解决圆锥侧面展开图问题的关键在于弄清展开前后的联系：一是展开前圆锥母线即为展开后扇形半径；二是展开前圆锥的底面圆周长即为展开后扇形的弧长