专题04 二项式定理（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019）

专题04 二项式定理 知识点1 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)． (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． 知识点2二项展开式的通项 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk. 知识点3二项式系数的性质 对称性 在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C 增减性 与最 大值 增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的；当k>时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值 各二项 式系数 的和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n； (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1 考点1 二项式定理的正用、逆用 【例1】设，化简（    ） A． B． C． D． 【解后感悟】(1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n. (2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢． 【变式1-1】二项式的展开式中共有（    ）项. A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1-2】化简的结果为（    ） A．x4 B． C． D． 【变式1-3】化简（    ） A． B． C． D． 考点2 二项式系数与项的系数问题 【例2】若的展开式中的系数与的系数相等，则______． 【解后感悟】1．二项式系数都是组合数C(r＝0,1,2，…，n)，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念． 2．第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C．例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C17－3(2x)3，其二项式系数是C＝35，而第四项的系数是C23＝280． 【变式2-1】在的展开式中，第四项为（    ） A．160 B． C． D． 【变式2-2】二项式的展开式中第10项是常数项,则常数项的值是______(用数字作答). 【变式2-3】若二项式展开式中各项系数之和为，则___________.（用数字作答） 考点3 求二项展开式中的特定项 【例3】（2023·河南洛阳·校联考三模）的展开式中常数项为______（用数字作答）． 【解后感悟】1．求二项展开式的特定项的常见题型 (1)求第r项，Tr＝Can－r＋1br－1； (2)求含xr的项(或xpyq的项)； (3)求常数项； (4)求有理项． 2．求二项展开式的特定项的常用方法 (1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)； (2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解； (3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． 【变式3-1】（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）的展开式中的系数为（    ） A．－80 B．－100 C．100 D．80 【变式3-2】（2023·北京东城·统考一模）在的展开式中，的系数为60，则实数______. 【变式3-3】（2023·江苏·二模）二项式的展开式的第项为常数项，则 __________． 考点4 二项式系数和问题(赋值法) 【例4】（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）若，则_________. 【解后感悟】二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可； (2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.　　 【变式4-1】（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）若，则（    ） A．45 B．27 C．15 D．3 【变式4-2】（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知，则___