5.2.3 简单复合函数的导数-【数学一起课件】高中数学选择性必修第二册同步PPT课件（人教A版2019）

简单复合函数的导数 授课人 XXX 第五章 一元函数的导数及其应用 1 学习目标 了解复合函数的概念. 会使用复合函数的求导法则. 能利用复合函数求导法则及导数运算法则求简单的复合函数的导数. 核心素养 数学抽象 复合函数. 逻辑推理 复合函数求导公式的推导. 数学运算 复合函数的求导. 知识回顾 基本初等函数的导数公式 若 ，则； 1 2 若 ，则； 3 若，则； 4 若，则； 5 若，则； 特别地，若，则； 6 若，则； 特别地，若，则. 知识回顾 导数的四则运算法则： 特别地 复合函数的概念 01 问题探究 问题1 如何求函数的导数呢？ 函数不是基本初等函数，没有求导公式； 函数也不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的，也不能用导数的四则运算法则来求导. 所以无法用现有的方法求它的导数. 问题探究 问题2 函数有什么结构特点？ 若设 ，则. 从而 可以看成是由 和 经过“复合”得到的. 即可以通过中间变量表示为自变量的函数， 复合函数的概念 举例 一般地，对于两个函数和 ，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数. 记作 函数 和复合而成. 函数 和复合而成. 外层函数 内层函数 例题解析 例1 下列函数是复合函数吗？如果是，它是由哪几个函数复合而成？ （1）； （2）； 解： （1）不是复合函数，两函数通过加、减、乘、除得到的新函数不一定是复合函数. （3）. （2）是复合函数，由 和 复合而成. （3）是复合函数，由 和 复合而成. 分解复合函数时，一般将内、外层函数分解为基本的初等函数. 复合函数导数的求法 02 问题探究 猜想 问题3 如何求复合函数的导数呢？ 以为例，研究其导数. 函数的导数一定与函数，的导数有关. 以 表示对的导数， 表示对的导数， 表示对的导数. 问题探究 问题3 如何求复合函数的导数呢？ ， . 问题探究 问题4 观察 、 ， 之间有什么关系？ ∵ ， 即 . ∴ ， 问题探究 问题5 再取其它函数试试，上述关系仍然成立吗？ 取函数. 函数可以看作和的复合函数. 以 表示对的导数， 表示对的导数， 表示对的导数. ， . ∵ ，∴ . 复合函数的求导法则 一般地，对于由函数和 复合而成的函数，它的导数与函数， 的导数间的关系为 即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 例题解析 例2 求下列函数的导数： （1）； （2）. 解： （1）函数可以看作函数和的复合函数. 根据复合函数的求导法则，有 （3）. 最后的结果不能用表示，需替换为最原始的自变量. 例题解析 例2 求下列函数的导数： （1）； （2）. 解： （2）函数可以看作函数和的复合函数. 根据复合函数的求导法则，有 （3）. 例题解析 例2 求下列函数的导数： （1）； （2）. 解： （3）函数可以看作函数和的复合函数. 根据复合函数的求导法则，有 （3）. 求导 回代 分解 例题解析 问题6 求复合函数导数的步骤是什么？ 选定适当的中间变量，正确分解复合关系，即说明函数关系，. 分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，要特别注意中间变量对自变量求导），即先求，再求，然后计算. 把中间变量代回原自变量（一般是）的函数. 例题解析 例3 某个弹簧振子在振动过程中的位移(单位：mm)与时间(单位：s)之间的关系为. 求函数在s时的导数，并解释它的实际意义. 分析 如何求函数在s时的导数？ 先求出函数的导数， 再将代入导数的解析式求值. 例题解析 解： 函数可以看作函数和的复合函数. 根据复合函数的求导法则，有 当时，. 它表示当s时，弹簧振子振动的瞬时速度为 mm/s. 例题解析 问题7 函数还可以看作哪两个函数的复合函数呢？ ∵ ∴ 此函数还可以看作和的复合函数. ∴ ∴ 当时，. 小结及随堂练习 03 课堂小结 一般地，对于两个函数和 ，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数. 记作 复合函数的概念 复合函数的求导法则 一般地，对于由函数和 复合而成的函数，它的导数与函数， 的导数间的关系为 随堂练习 1、设函数 ，则函数的导函数等于（ ） A． B． C． D． ∵ ， 解析 此函数可以看作和的复合函数. ∴ . 随堂练习 2、曲线在点处的切线方程是（ ） ∵ ，∴ ， 解析 ∴ 切线斜率 ， A． B． C． D． ∴ 切线方程为 ，即 . 随堂练习 3、已知函数，则（ ） A． B． C． D． ∵ 由题得 ，∴ . 解析 ∵ ， ∴ . 随堂练习 4、求下列函数的导数： （1）函数可以看作函数和的复合函数. 根据复合函数的求导法则，有 解析 （1）； （2）； （3