5.2.2 导数的四则运算法则-【数学一起课件】高中数学选择性必修第二册同步PPT课件（人教A版2019）

导数的四则运算法则 授课人 XXX 第五章 一元函数的导数及其应用 1 学习目标 掌握导数的基本运算法则. 能够综合运用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 核心素养 数学抽象 导数的四则运算法则. 逻辑推理 导数的四则运算法则的推导. 数学运算 使用导数的四则运算法则求一些函数的导数. 知识回顾 基本初等函数的导数公式 若 ，则； 1 2 若 ，则； 3 若，则； 4 若，则； 5 若，则； 特别地，若，则； 6 若，则； 特别地，若，则. 课程导入 问题1 在例2中，当时，. 这时，求关于的导数可以看成求函数乘积的导数. 一般地，如何求两个函数的和、差、积、商的导数呢？ 函数和、差的求导法则 01 问题探究 问题2 设，，如何求与的导数？ 设 ， ∵ ∴ 同理 问题探究 ， 而 所以 问题3 、与和有什么关系？ 问题探究 ， . 取，， 则 ，， ， . 问题4 再取其它函数试试，上述关系仍然成立吗？由此你能想到什么？ 问题探究 问题4 再取其它函数试试，上述关系仍然成立吗？由此你能想到什么？ 问题探究 问题4 再取其它函数试试，上述关系仍然成立吗？由此你能想到什么？ 问题探究 由此可猜想到： ， . 问题4 再取其它函数试试，上述关系仍然成立吗？由此你能想到什么？ 函数和、差的求导法则 一般地，对于两个函数和的和（或差）的导数，我们有如下法则： 1 2 说明 导数和（差）的求导法则用文字语言可叙述为：一般地，两个函数的和（差）的导数，等于这两个函数的导数的和（差）. 导数和（差）的求导法则可推广到有限个函数的和（差）的导数，即. 例题解析 例3 求下列函数的导数： （1）； （2）. 解： （1） （2） 函数积、商的求导法则 02 问题探究 问题5 设，，计算与，它们是否相等？ ， ， 因此 . 问题探究 问题6 那与商的导数是否等于它们导数的商呢？ ， ， 因此 . 函数积、商的求导法则 事实上，对于两个函数和的乘积（或商）的导数，我们有如下法则： 由函数的乘积的导数法则可以得出 也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即 函数积、商的求导法则 说明 函数乘积的求导法则用文字语言叙述为：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数，简记为“轮流求导乘之和”. 1 2 函数的积的导数可推广到有限个函数的乘积的导数，即. 3 函数商的求导法则用文字语言叙述为：两个函数的商的导数，等于分子函数的导数乘上分母函数，减去分子函数乘上分母函数的导数，所得的差除以分母函数的平方. 例题解析 例4 求下列函数的导数： （1）； （2）. 解： （1） （2） 例题解析 例5 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加. 已知将 t 水净化到纯净度为%时所需费用（单位：元）为 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）90%； （2）98%. 例题解析 分析 如何求纯净度为90%和98%时，所需净化费用的瞬时变化率？ 净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数，即求. 解： 例题解析 由上述计算可知，. 它表示净化到纯净度为98%左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为90%左右时净化费用变化率的25倍. 这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快. （1）因为， 所以，净化到纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率是52.84元/吨. （2）因为， 所以，净化到纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率是1321元/吨. 小结及随堂练习 03 课堂小结 导数的四则运算法则： 特别地 随堂练习 1、函数 的导数为（ ） A． B． C． D． 解析 随堂练习 2、已知，则（ ） A． B． C． D． ∵ ， 解析 ∴ . 随堂练习 3、已知，若则实数等于（ ） A． B． C． D． ∵ 解析 ∴ ，解得. 随堂练习 4、已知曲线在点处的切线方程为，则 ∵ ， 解析 ∴ ， ∴ 切线方程为，即. ∵ 切线方程为，所以，即，故 随堂练习 5、求下列函数的导数： （1） 解析 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. （2） 随堂练习 （3） （4） （5）∵ ∴ 随堂练习 （6）∵ ∴ 授课人 XXX 谢谢观看 image: Freepik.com 33 $