专题02 利用空间向量求空间角、空间距离（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点大串讲（苏教版2019选择性必修第二册）

02 利用空间向量求空间角、空间距离 知识点1 异面直线所成的角 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝. l1与l2所成的角θ a与b的夹角β 范围 [0，π] 求法 cos θ＝ cos β＝ 知识点2 直线与平面所成的角 如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则sin φ＝|cos 〈a，n〉|＝． 知识点3 平面与平面的夹角 (1)二面角：如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． 若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝. (2)若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图①． (3)平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α­l­β为θ或π－θ．设二面角的大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝，如图②③． 知识点4 利用空间向量求距离 (1)两点间的距离 设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝||＝． (2)点到平面的距离 如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为||＝． (3)点到直线的距离 如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝. 知识点 5 最小角定理 最小角定理：cos θ＝cos θ1cos θ2． 如图，若OA为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的射影，OC为平面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cosθ＝cosθ1cosθ2． 知识点6 易错易混点 1．在利用向量求各类夹角时，利用公式求得的是两个向量之间的夹角，需要结合条件及各类角的取值范围，最终确定所求角． 2．注意在求线面角时，直线的方向向量和平面的法向量所成的锐角并不是线面角，而是线面角的余角． 3．在求二面角问题时，要理清题目条件或者结合图形，确定二面角是锐角还是钝角． 考点1 求异面直线所成的角 【例1】在三棱锥P­ABC中，△ABC和△PBC均为等边三角形，且二面角P­BC­A的大小为120°，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 【总结】用向量法求异面直线所成角的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系：选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量：确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值． 【变式1-1】如图所示，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，＝λ，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为，则λ的值为________． 【变式1-2】在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、AA1的中点，则直线AM与DN所成角θ的余弦值为_________． 【变式1-3】已知直线l1的方向向量s1＝(1,0,1)与直线l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，则l1和l2夹角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 【变式1-4】如图，已知棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F，G分别为AB，CD1，AD的中点，则异面直线A1G与EF所成角的余弦值为(　　) A．0 B. C. D．1 【变式1-5】如图，已知圆锥CO的截面△ABC是正三角形，AB是底面圆O的直径，点D在上，且∠AOD＝2∠BOD，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 【变式1-6】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝，BC＝2，点D为BC的中点，则异面直线AD与A1C所成的角为(　　) A. B. C. D. 【变式1-7】如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，＝λ，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为，则λ的值为______． 【变式1-8】若在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠