第16讲 矩形的折叠问题-2023年中考数学重点核心知识点专题讲+练

第16讲 矩形的折叠问题（解析） · 题型一：利用对称的性质，结合方程思想求值 【例1】如图，一张宽为，长为的矩形纸片，先沿对角线对折，点落在的位置，交于，再折叠一次，使点与点重合，得折痕，交于，则______． 【对称性质】 ①线段相等：CD=CD=AB,BC=BC,EA=ED,NA=ND,AM=DM; ②角相等：∠CBD=∠CBD, ∠CDB=∠CDB; ③全等三角形：△CBD≌△CBD， ④垂直平分：BD垂直平分CC，NE垂直平分AD； 【答案】 【分析】由折叠的性质与矩形的性质，证得是等腰三角形，则在中，利用勾股定理，借助于方程即可求得的长，又由，得到，由三角函数的性质即可求得的长． 【详解】解：由折叠的性质得：，，， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， 设，则， 在中，， ， ，即， 在和中， ， ， ， 又， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数的性质以及勾股定理，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用． 1．（2022·辽宁营口·统考中考真题）如图，在矩形中，点M在边上，把沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，连接，过点B作，垂足为F，若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明△BFC≌△CDE，可得DE=CF=2，再用勾股定理求得CE=，从而可得AD=BC=，最后求得AE的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC， ∴∠DEC=∠FCB， ∵， ∴∠BFC=∠CDE， ∵把沿直线折叠，使点B落在边上的点E处， ∴BC=EC， 在△BFC与△CDE中， ∴△BFC≌△CDE（AAS）， ∴DE=CF=2， ∴， ∴AD=BC=CE=， ∴AE=AD-DE=， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质，勾股定理的应用，解决本题的关键是熟练掌握矩形中的折叠问题． 2．（2022·山东济宁·校考二模）如图，矩形中，，，点在边上，且，点是边上一点，连接，将四边形沿折叠，若点A的对称点恰好落在边上，则的长为_______． 【答案】 【分析】连接，，根据矩形的性质得到，，，求得，，根据折叠的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接，， 四边形是矩形， ，，， ， ，， ， 将四边形沿折叠，点的对称点恰好落在边上， ，， 在与中， ， ∴， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 3．（2022·河南郑州·郑州外国语中学校考模拟预测）如图，已知在长方形纸条中，点G在边上，，将该纸条沿着过点G的直线翻折后，点C、D分别落在边下方的点E、F处，且点E、F、B在同一条直线上，折痕与边交于点H，与交于点M．设，那么的周长为______ （用含t的代数式表示） 【答案】 【分析】过点作，连接，利用矩形和折叠的性质，推出为等边三角形，求出，即可得解． 【详解】如图，过点作，连接； ∵点E、F、B在同一条直线上， ∴点在上， ∵将长方形纸条沿翻折， ∴，，； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是矩形， ∴． ∴； ∴ ， ∴为等边三角形； ∵， ∴四边形为矩形， ∴； ∵， ∴， ∴的周长； 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，解直角三角形，等边三角形的判定和性质．熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，证明为等边三角形，是解决本题的关键． 4．（2022·山东泰安·校考二模）已知在矩形中，，，点G、F、H、E是分别边、、、上的点，分别沿，折叠矩形恰好使、都与重合，则_______． 【答案】7 【分析】设，根据折叠的性质得出．过E作于M，则，．在中根据勾股定理得出，即，解方程即可． 【详解】解：设， ∵分别沿，折叠矩形恰好使都与重合， ∴． 过E作于M，则四边形是矩形， ∵，， ∴，，， 在中，∵， ∴，即， 解得， 则， ∴． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，勾股定理，列出关于x的方程是解题的关键． 5．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝________． 【答案】## 【分析】由折叠性质可得CF=BC=5，BE=EF，由矩形性质有CD=AB=3，BC=AD=5，勾股定理求得DF，AF．设BE=EF=x，则AE=AB-BE，在直角三角形AEF中，根据勾股定理，建立方程，解方程即可求解．